a) Prove that the equation of any plane in space can be written in the form b1 x+b2 y+b3 z=c. (Hint: Prove that the dot product of the position vector to any point in the plane and a normal vector is a constant.)
b) Find the expression for the unit normal passing through the origin.
c) For the plane 3 x-2 y+6 z=5, find the perpendicular distance from the origin to the plane.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão aborda equações de planos no espaço tridimensional. Precisamos provar que qualquer plano pode ser representado na forma . Para isso, vamos utilizar o produto escalar entre o vetor posição de qualquer ponto no plano e um vetor normal ao plano.

Passo 2

Vamos considerar um plano no espaço. Qualquer ponto x y z que pertence a esse plano pode ser descrito por um vetor posição .

Passo 3

O plano possui um vetor normal b1 b2 b3 , que é perpendicular a todos os vetores que estão no plano.

Passo 4

O produto escalar entre o vetor posição n cdot r = b1x + b2y + b3z = c e o vetor normal é constante para todos os pontos do plano. Isso significa que:
onde é uma constante.

Passo 5

Assim, mostramos que qualquer plano pode ser descrito pela equação , onde são as componentes do vetor normal ao plano.

Passo 6

Agora, para encontrar a unit normal passando pela origem, precisamos normalizar o vetor normal n = n||n|| = 1raizb1^2 + b2^2 + b3^2 b1 b2 b3 . A unidade de um vetor é dada por:

Passo 7

Finalmente, para encontrar a distância perpendicular do ponto de origem até o plano D = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 , usamos a fórmula:
D = |3(0) - 2(0) + 6(0) - 5|raiz3^2 + (-2)^2 + 6^2 = 5raiz9 + 4 + 36 = 5raiz49 = 57
onde , , , e . Como o ponto é a origem , substituímos na fórmula:

Resposta

a) Qualquer plano pode ser escrito como b1 b2 b3 .
b) A unidade normal passando pela origem é .
c) A distância perpendicular da origem ao plano é .

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