a) Prove that the equation of any plane in space can be written in the form . (Hint: Prove that the dot product of the position vector to any point in the plane and a normal vector is a constant.)
b) Find the expression for the unit normal passing through the origin.
c) For the plane , find the perpendicular distance from the origin to the plane.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão aborda equações de planos no espaço tridimensional. Precisamos provar que qualquer plano pode ser representado na forma . Para isso, vamos utilizar o produto escalar entre o vetor posição de qualquer ponto no plano e um vetor normal ao plano.
Passo 2
Vamos considerar um plano no espaço. Qualquer ponto que pertence a esse plano pode ser descrito por um vetor posição .
Passo 3
O plano possui um vetor normal b1 b2 b3 , que é perpendicular a todos os vetores que estão no plano.
Passo 4
O produto escalar entre o vetor posição n cdot r = b1x + b2y + b3z = c e o vetor normal é constante para todos os pontos do plano. Isso significa que:
onde é uma constante.
Passo 5
Assim, mostramos que qualquer plano pode ser descrito pela equação , onde são as componentes do vetor normal ao plano.
Passo 6
Agora, para encontrar a unit normal passando pela origem, precisamos normalizar o vetor normal n = n||n|| = 1raizb1^2 + b2^2 + b3^2 b1 b2 b3 . A unidade de um vetor é dada por:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a distância perpendicular do ponto de origem até o plano D = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 , usamos a fórmula: