Determine para que as matrizes a seguir sejam iguais as suas inversas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar o valor de para que a matriz dada seja igual à sua própria inversa. Ou seja, queremos que a matriz seja sua própria inversa. Para isso, vamos precisar entender como calcular a inversa de uma matriz 2x2 e resolver uma equação envolvendo essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a inversa de uma matriz 2x2. Se temos uma matriz:
A inversa de , denotada por , é dada por:
Desde que o determinante não seja zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à matriz que nos foi dada:
Primeiro, vamos calcular o determinante de :
Para que a inversa exista, o determinante não pode ser zero:
Passo 4
Agora, vamos escrever a inversa de usando a fórmula:
Queremos que , então igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
Passo 5
Para que as duas matrizes sejam iguais, os elementos correspondentes devem ser iguais. Vamos considerar o elemento da posição (1,1):