Use sistemas lineares para determinar a decomposição em frações parciais das expressões abaixo:
x^2+3 x-1x(x-1)(x-2)=Ax+Bx-1+Cx-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decompor a fração
x^2+3x-1x(x-1)(x-2)
em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de frações parciais e sistemas lineares na álgebra. Para resolver, vamos precisar achar os valores de , e que satisfazem a igualdade dada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação original já com as frações parciais:
x^2+3x-1x(x-1)(x-2) = Ax + Bx-1 + Cx-2

Passo 3

Para eliminar os denominadores, vamos multiplicar ambos os lados da equação por x^2+3x-1 = A(x-1)(x-2) + Bx(x-2) + Cx(x-1) . Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos expandir cada termo do lado direito:
  • Expande A(x^2 - 3x + 2) = A x^2 - 3A x + 2A :
B(x^2 - 2x) = B x^2 - 2B x
  • Expande C(x^2 - x) = C x^2 - C x :
  • Expande :

Passo 5

Agora, juntamos todos os termos expandidos:
x^2+3x-1 = (A x^2 - 3A x + 2A) + (B x^2 - 2B x) + (C x^2 - C x)
Simplificando:
x^2+3x-1 = (A + B + C) x^2 + (-3A - 2B - C) x + 2A

Passo 6

Para as duas expressões serem iguais, os coeficientes dos mesmos termos devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
A + B + C = 1 -3A - 2B - C = 3 2A = -1

Passo 7

Vamos resolver o sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação:
2A = -1 implies A = -12

Passo 8

Substituímos o valor de -12 + B + C = 1 implies B + C = 32 na primeira equação:

Passo 9

Agora, substituímos -3(-12) - 2B - C = 3 implies 32 - 2B - C = 3 na segunda equação:
-2B - C = 32
Simplificando:

Passo 10

Agora, temos o sistema simplificado:
B + C = 32 -2B - C = 32
Vamos somar as duas equações para eliminar (B + C) + (-2B - C) = 32 + 32 implies -B = 3 implies B = -3 :

Passo 11

Agora, substituímos -3 + C = 32 implies C = 92 na equação :

Resposta

A decomposição em frações parciais é:
x^2+3x-1x(x-1)(x-2) = -12x + -3x-1 + 92x-2

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