Use sistemas lineares para determinar a decomposição em frações parciais das expressões abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decompor a fração
em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de frações parciais e sistemas lineares na álgebra. Para resolver, vamos precisar achar os valores de , e que satisfazem a igualdade dada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação original já com as frações parciais:
Passo 3
Para eliminar os denominadores, vamos multiplicar ambos os lados da equação por . Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos expandir cada termo do lado direito:
Expande :
Expande :
Expande :
Passo 5
Agora, juntamos todos os termos expandidos:
Simplificando:
Passo 6
Para as duas expressões serem iguais, os coeficientes dos mesmos termos devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver o sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação:
2A = -1 implies A = -12
Passo 8
Substituímos o valor de -12 + B + C = 1 implies B + C = 32 na primeira equação:
Passo 9
Agora, substituímos -3(-12) - 2B - C = 3 implies 32 - 2B - C = 3 na segunda equação:
-2B - C = 32
Simplificando:
Passo 10
Agora, temos o sistema simplificado:
B + C = 32 -2B - C = 32
Vamos somar as duas equações para eliminar (B + C) + (-2B - C) = 32 + 32 implies -B = 3 implies B = -3 :
Passo 11
Agora, substituímos -3 + C = 32 implies C = 92 na equação :