Identifique a cônica dada pela equação x^2-4 x y+y^2+2 x-3 y+1=0 * *

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar qual tipo de cônica está representada pela equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, mais especificamente sobre as cônicas (como elipse, hipérbole e parábola) e a forma geral das equações dessas figuras.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma geral da equação de uma cônica:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Na nossa equação, identificamos os coeficientes:
A = 1, B = -4, C = 1, D = 2, E = -3, F = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante da cônica, que nos ajuda a determinar o tipo de cônica que temos. O discriminante é dado por:
De
Substituindo os valores:
De

Passo 4

Com o valor do discriminante calculado, podemos identificar a cônica:
  • Se , é uma hipérbole.
  • Se , é uma parábola.
  • Se , é uma elipse (ou círculo, se e ).
No nosso caso, , o que indica que estamos lidando com uma hipérbole.

Resposta

A cônica dada pela equação é uma hipérbole.

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