Identifique a cônica dada pela equação 8 x^2+3 x y-4 y^2-7 x+2 y+5= 0 .** ^* *

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma cônica: . O objetivo aqui é identificar que tipo de cônica é essa. Para fazer isso, vamos usar a teoria das cônicas, especificamente analisando os coeficientes da equação geral da cônica para determinar se é uma elipse, parábola ou hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação de uma cônica:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Na nossa equação, precisamos identificar os valores de , , , , e .

Passo 3

Vamos comparar os termos:
8x^2 + 3xy - 4y^2 - 7x + 2y + 5 = 0
Então, temos:

Passo 4

Agora, para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante, que é calculado pela fórmula:
De
O valor do discriminante nos diz qual é a cônica:
  • Se : Hipérbole
  • Se : Parábola
  • Se : Elipse (ou círculo, se e )

Passo 5

Vamos calcular o discriminante com os valores que encontramos:
De
Como , isso indica que a nossa cônica é uma hipérbole.

Resposta

A cônica dada pela equação é uma hipérbole.

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