Determine o tipo de superfície definida pela equação
e discuta as suas secções cônicas nos planos coordenados.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. O objetivo aqui é descobrir que tipo de superfície essa equação representa e analisar como ela corta os planos coordenados. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Superfícies Quadráticas e completar o quadrado para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
,
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
.
Para
:
Fatoramos o coeficiente de , que é 2:
Fatoramos o coeficiente de
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Então fica:
Para
:
Fatoramos o coeficiente de , que é 3:
Fatoramos o coeficiente de
Completando o quadrado:
Então fica:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Vamos simplificar os termos constantes:
Então a equação fica:
Passo 5
Isolando os termos quadráticos:
Dividindo todos os termos por
para deixar em forma padrão:
Simplificando as frações:
Passo 6
Essa é a forma padrão de uma Superfície Quadrática do segundo grau. Observando os sinais:
- Temos dois termos positivos e um negativo, o que indica que é um hiperbolóide de uma folha.
Passo 7
Agora, vamos discutir as secções cônicas nos planos coordenados.
- Plano XY (z = 0):
Substituindona equação original:
Completando o quadrado, como fizemos anteriormente, vemos que essa secção é uma elipse.
- Plano XZ (y = 0):
Substituindo:
Completando o quadrado para
, percebemos que essa secção é uma hipérbole.
- Plano YZ (x = 0):
Substituindo:
Após completar o quadrado para
, essa secção também é uma hipérbole.
Resposta
A equação
representa um hiperbolóide de uma folha. Suas secções cônicas nos planos coordenados são: uma elipse no plano XY, e hipérboles nos planos XZ e YZ.