Determine o tipo de superfície definida pela equação 2 x^2+3 y^2-z^2+ 4 x-5 y+1=0 e discuta as suas secções cônicas nos planos coordenados.**

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . O objetivo aqui é descobrir que tipo de superfície essa equação representa e analisar como ela corta os planos coordenados. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Superfícies Quadráticas e completar o quadrado para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 2x^2 + 4x + 3y^2 - 5y - z^2 + 1 = 0, e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis 2(x^2 + 2x) e (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1.
Para 2[(x + 1)^2 - 1] = 2(x + 1)^2 - 2:
Fatoramos o coeficiente de 3(y^2 - 53y), que é 2:
(y^2 - 53y + 2536) - 2536 = (y - 56)^2 - 2536
Completando o quadrado dentro do parêntese:
3[(y - 56)^2 - 2536] = 3(y - 56)^2 - 2512
Então fica:
Para :
Fatoramos o coeficiente de , que é 3:
Completando o quadrado:
Então fica:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
2(x + 1)^2 - 2 + 3(y - 56)^2 - 2512 - z^2 + 1 = 0
Vamos simplificar os termos constantes:
-2 - 2512 + 1 = -1 - 2512 = -3712
Então a equação fica:
2(x + 1)^2 + 3(y - 56)^2 - z^2 - 3712 = 0

Passo 5

Isolando os termos quadráticos:
2(x + 1)^2 + 3(y - 56)^2 - z^2 = 3712
Dividindo todos os termos por 2(x + 1)^23712 + 3(y - 56)^23712 - z^23712 = 1 para deixar em forma padrão:
(x + 1)^23724 + (y - 56)^23736 - z^23712 = 1
Simplificando as frações:

Passo 6

Essa é a forma padrão de uma Superfície Quadrática do segundo grau. Observando os sinais:
  • Temos dois termos positivos e um negativo, o que indica que é um hiperbolóide de uma folha.

Passo 7

Agora, vamos discutir as secções cônicas nos planos coordenados.
  1. Plano XY (z = 0):
    Substituindo 2x^2 + 3y^2 + 4x - 5y + 1 = 0 na equação original:
2x^2 - z^2 + 4x + 1 = 0
Completando o quadrado, como fizemos anteriormente, vemos que essa secção é uma elipse.
  1. Plano XZ (y = 0):
    Substituindo 3y^2 - z^2 - 5y + 1 = 0:
Completando o quadrado para , percebemos que essa secção é uma hipérbole.
  1. Plano YZ (x = 0):
    Substituindo :
Após completar o quadrado para , essa secção também é uma hipérbole.

Resposta

A equação representa um hiperbolóide de uma folha. Suas secções cônicas nos planos coordenados são: uma elipse no plano XY, e hipérboles nos planos XZ e YZ.

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