A equação
representa uma quadrica. Calcule a sua excentricidade e determine a natureza de sua seção transversal no plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a equação
e pede para calcular a excentricidade dessa quádrupla e descobrir que tipo de seção ela tem no plano
. Vamos precisar entender como identificar o tipo de quádrupla e usar algumas fórmulas de excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de quádrupla temos aqui. Observando a equação
, vemos que tem termos quadráticos com sinais diferentes. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha. A forma geral desse tipo de quádrupla é:
Comparando com a nossa equação, podemos ver que
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a excentricidade (
) do hiperboloide. A excentricidade mede o quanto a quádrupla se desvia de uma forma esférica. Para um hiperboloide de uma folha, a excentricidade é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Agora vamos determinar a natureza da seção transversal no plano
. Para isso, substituímos
na equação original:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano
.
Resposta
A excentricidade da quádrupla é
e a seção transversal no plano
é uma hipérbole.