A equação x^2-4 y^2+z^2=16 representa uma quadrica. Calcule a sua excentricidade e determine a natureza de sua seção transversal no plano z=0 ^* *

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a equação e pede para calcular a excentricidade dessa quádrupla e descobrir que tipo de seção ela tem no plano . Vamos precisar entender como identificar o tipo de quádrupla e usar algumas fórmulas de excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de quádrupla temos aqui. Observando a equação x^2a^2 + z^2c^2 - y^2b^2 = 1 , vemos que tem termos quadráticos com sinais diferentes. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha. A forma geral desse tipo de quádrupla é:
Comparando com a nossa equação, podemos ver que , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a excentricidade ( e = raiz1 + c^2a^2 ) do hiperboloide. A excentricidade mede o quanto a quádrupla se desvia de uma forma esférica. Para um hiperboloide de uma folha, a excentricidade é dada por:
e = raiz1 + 1616 = raiz1 + 1 = raiz2 approx 1,414
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Agora vamos determinar a natureza da seção transversal no plano x^2 - 4 y^2 + (0)^2 = 16 implies x^2 - 4 y^2 = 16 . Para isso, substituímos x^216 - y^24 = 1 na equação original:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano .

Resposta

A excentricidade da quádrupla é e a seção transversal no plano é uma hipérbole.

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