Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
z^2-2 y^2+4 y=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação e precisa identificar que tipo de quádricas ela representa. Quádricas são superfícies no espaço que podem ser elipsoides, hiperboloides, paraboloides, etc. Para resolver isso, vamos precisar entender como rearranjar a equação para identificar a forma padrão da quádrica e então encontrar seus elementos principais, como interseções com os eixos, centros e vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar os termos com z^2 - 2y^2 + 4y = -1 juntos. Temos:
z^2 - 2y^2 + 4y + 1 = 0
Vamos passar o -1 para o outro lado:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de -2(y^2 - 2y) . Olha só, temos (-22)^2 = 1 . Podemos fatorar o -2:
-2(y^2 - 2y + 1 - 1)
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de -2(y - 1)^2 + 2 , que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Isso dá:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
z^2 - 2(y - 1)^2 + 2 + 1 = 0
Simplificando:
z^2 - 2(y - 1)^2 + 3 = 0
Vamos isolar os termos:
z^2 - 2(y - 1)^2 = -3
Multiplicando os dois lados por -1 para facilitar:
-z^2 + 2(y - 1)^2 = 3
Podemos reescrever como:
(y - 1)^232 - z^23 = 1

Passo 5

Agora, essa equação está na forma padrão de um hiperbolóide de duas folhas:
(y - k)^2a^2 - (z - l)^2b^2 = 1
Comparando, vemos que , , , e .

Passo 6

Para encontrar as interseções com os eixos coordenados:
  • Eixo Y: Colocamos -2y^2 + 4y = -1 na equação original: -2y^2 + 4y + 1 = 0 z^2 + 0 + 0 = -1 Resolvendo essa equação, encontramos os pontos onde a quádrica intercepta o eixo Y.
  • Eixo Z: Colocamos : Aqui, não há solução real, então não há interseção com o eixo Z.
  • Eixo X: Observando a equação original, vemos que não está presente. Isso significa que a quádrica é independente de , então ela se estende ao longo do eixo X sem interseções específicas.

Passo 7

O centro da quádrica é o ponto , que no nosso caso é . Os vértices são os pontos mais próximos ao centro na direção das interseções principais, que são , ou seja, .

Resposta

A quádrica é um hiperbolóide de duas folhas com centro em , vértices em e . Ela não intercepta o eixo Z e estende-se ao longo do eixo X. O esboço apresentaria duas folhas simétricas em relação ao plano , abertas ao longo do eixo Y.

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