Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação
e precisa identificar que tipo de quádricas ela representa. Quádricas são superfícies no espaço que podem ser elipsoides, hiperboloides, paraboloides, etc. Para resolver isso, vamos precisar entender como rearranjar a equação para identificar a forma padrão da quádrica e então encontrar seus elementos principais, como interseções com os eixos, centros e vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar os termos com
juntos. Temos:
Vamos passar o -1 para o outro lado:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo de
. Olha só, temos
. Podemos fatorar o -2:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Isso dá:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Vamos isolar os termos:
Multiplicando os dois lados por -1 para facilitar:
Podemos reescrever como:
Passo 5
Agora, essa equação está na forma padrão de um hiperbolóide de duas folhas:
Comparando, vemos que
,
,
, e
.
Passo 6
Para encontrar as interseções com os eixos coordenados:
- Eixo Y: Colocamos
na equação original: Resolvendo essa equação, encontramos os pontos onde a quádrica intercepta o eixo Y. - Eixo Z: Colocamos
: Aqui, não há solução real, então não há interseção com o eixo Z. - Eixo X: Observando a equação original, vemos que
não está presente. Isso significa que a quádrica é independente de , então ela se estende ao longo do eixo X sem interseções específicas.
Passo 7
O centro da quádrica é o ponto
, que no nosso caso é
. Os vértices são os pontos mais próximos ao centro na direção das interseções principais, que são
, ou seja,
.
Resposta
A quádrica
é um hiperbolóide de duas folhas com centro em
, vértices em
e
. Ela não intercepta o eixo Z e estende-se ao longo do eixo X. O esboço apresentaria duas folhas simétricas em relação ao plano
, abertas ao longo do eixo Y.