Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que envolve , e :
O objetivo aqui é descobrir que tipo de superfície essa equação representa e, depois, esboçar o gráfico dessa superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre superfícies quadráticas no espaço tridimensional, que são formas geométricas definidas por equações do segundo grau como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes de cada termo na equação:
  • tem o denominador 9, que é .
  • tem o denominador 16, que é .
  • tem o denominador 25, que é .
A equação está na forma padrão de uma elipsoide, que é uma superfície tridimensional onde cada ponto está a uma distância constante de três eixos diferentes. A forma geral de uma elipsoide é:
Onde , e são os raios ao longo dos eixos , e respectivamente.

Passo 3

Agora que identificamos que a equação representa uma elipsoide, vamos entender suas características:
  • O valor de indica que no eixo , a elipsoide se estende de a .
  • O valor de indica que no eixo , ela se estende de a .
  • O valor de indica que no eixo , ela se estende de a .
Para esboçar o gráfico, imagine uma esfera que foi “esticada” mais no eixo , depois um pouco no e menos no . Isso cria uma forma ovalada tridimensional.

Resposta

A equação dada representa uma elipsoide com semi-eixos de comprimentos 3, 4 e 5 ao longo dos eixos , e respectivamente. O gráfico dessa superfície é uma forma oval tridimensional esticada mais no eixo , seguida pelo e menos no .

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