Determine todas as assintotas das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar todas as assíntotas da função . Isso envolve entender assíntotas, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Vamos precisar usar conceitos de limites e comportamentos assintóticos pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando tende ao infinito. Quando cresce, se aproxima de zero. Saber que é limitado entre -1 e 1 nos ajuda aqui. Então, fica entre -1 e 1, e multiplicando por , temos que vai oscilar entre e . Mas, como tende a 0 quando cresce, o produto também tende a 0.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de zero. Nesse caso, cresce sem limite, e continua oscilando entre -1 e 1. Multiplicando por , que está se aproximando de zero, o produto também tende a zero, porque “amortiza” as oscilações.

Passo 4

Vamos verificar as possíveis assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende a infinito ou menos infinito. No nosso caso, vimos que quando tende a zero, tende a zero, e não a infinito. Então, não há assíntotas verticais.

Passo 5

Por fim, vamos identificar as assíntotas horizontais. Assíntotas horizontais acontecem quando tende a algum número finito quando vai para infinito ou menos infinito. Nos passos anteriores, vimos que tanto quando tende a infinito quanto a zero, tende a 0. Isso significa que a linha é uma assíntota horizontal.

Resposta

A única assíntota da função é a assíntota horizontal .

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