Determine todas as assintotas das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar todas as assíntotas da função
. Isso envolve entender assíntotas, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Vamos precisar usar conceitos de limites e comportamentos assintóticos pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
tende ao infinito. Quando
cresce,
se aproxima de zero. Saber que
é limitado entre -1 e 1 nos ajuda aqui. Então,
fica entre -1 e 1, e multiplicando por
, temos que
vai oscilar entre
e
. Mas, como
tende a 0 quando
cresce, o produto
também tende a 0.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de zero. Nesse caso,
cresce sem limite, e
continua oscilando entre -1 e 1. Multiplicando por
, que está se aproximando de zero, o produto
também tende a zero, porque
“amortiza” as oscilações.
Passo 4
Vamos verificar as possíveis assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende a infinito ou menos infinito. No nosso caso, vimos que quando
tende a zero,
tende a zero, e não a infinito. Então, não há assíntotas verticais.
Passo 5
Por fim, vamos identificar as assíntotas horizontais. Assíntotas horizontais acontecem quando
tende a algum número finito quando
vai para infinito ou menos infinito. Nos passos anteriores, vimos que tanto quando
tende a infinito quanto a zero,
tende a 0. Isso significa que a linha
é uma assíntota horizontal.
Resposta
A única assíntota da função
é a assíntota horizontal
.
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