Resolva os limites:
lim x 0 tan (2 x)tan (3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve limites e funções trigonométricas, especificamente a tangente. Para resolver, vamos precisar entender como a função tangente se comporta quando o ângulo está próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites envolvendo a função tangente. Sabemos que:
limx 0 tan(x)x = 1
Isso significa que, quando está muito próximo de zero, é aproximadamente igual a . Usando essa ideia, podemos simplificar tanto quanto .

Passo 3

Aplicando a propriedade acima, podemos dizer que:
tan(2x) approx 2x e tan(3x) approx 3x quando x 0

Passo 4

Substituindo essas aproximações no nosso limite original, temos:
limx 0 tan(2x)tan(3x) approx limx 0 2x3x

Passo 5

Agora, simplificando a fração:
2x3x = 23 (os termos x se cancelam)

Resposta

O limite é .

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