Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem da função: .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função . O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais, e para resolvermos, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Como , e são tratados como constantes quando derivamos em relação a , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Aqui, precisamos aplicar a regra do produto, já que aparece em mais de um fator da função:
Explicando, a primeira parte é a derivada de multiplicada pelos outros termos, e a segunda parte deriva usando a regra da cadeia, onde a derivada de é vezes a derivada de , que neste caso é .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Novamente, aplicamos a regra do produto:
Aqui, diferenciamos em relação a , resultando em , e multiplicamos pelos demais fatores que são tratados como constantes.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Neste caso, apenas a função depende de , então usamos a regra da cadeia:
Simplificando, temos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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O valor da expressão é:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolva o sistema:
Use a derivação implícita para determinar e :
Utilize a Regra da Cadeia para determinar : ;