Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem da função:
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função
. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais, e para resolvermos, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Como
,
e
são tratados como constantes quando derivamos em relação a
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Aqui, precisamos aplicar a regra do produto, já que
aparece em mais de um fator da função:
Explicando, a primeira parte é a derivada de
multiplicada pelos outros termos, e a segunda parte deriva
usando a regra da cadeia, onde a derivada de
é
vezes a derivada de
, que neste caso é
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Novamente, aplicamos a regra do produto:
Aqui, diferenciamos
em relação a
, resultando em
, e multiplicamos pelos demais fatores que são tratados como constantes.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Neste caso, apenas a função
depende de
, então usamos a regra da cadeia:
Simplificando, temos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
Exercícios relacionados
O valor da expressão
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Resolva o sistema:
Use a derivação implícita para determinar
e
:
Utilize a Regra da Cadeia para determinar
:
;