Utilize a Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t : z=sin theta cos phi, theta=s t^2, phi=s^2 t;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função theta = s t^2, phi = s^2 t , onde e também são funções de e :
O objetivo é usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . Ou seja, precisamos determinar e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função z = sin(s t^2) cos(s^2 t) substituindo e por suas expressões em termos de e :
Agora, está totalmente expresso em função de e .

Passo 3

Para encontrar as derivadas parciais partial zpartial s = partial zpartial theta cdot partial thetapartial s + partial zpartial phi cdot partial phipartial s e partial zpartial t = partial zpartial theta cdot partial thetapartial t + partial zpartial phi cdot partial phipartial t , vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra nos permite derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções.
A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis diz que:

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. Derivadas de partial zpartial theta = cos theta cos phi em relação a partial zpartial phi = -sin theta sin phi e partial thetapartial s = t^2 :
partial phipartial s = 2 s t
partial thetapartial t = 2 s t
  1. Derivadas de partial phipartial t = s^2 e em relação a e :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na Regra da Cadeia:
  1. Para partial zpartial s = ( cos theta cos phi ) cdot t^2 + ( -sin theta sin phi ) cdot 2 s t :
partial zpartial s = t^2 cos theta cos phi - 2 s t sin theta sin phi
partial zpartial t = ( cos theta cos phi ) cdot 2 s t + ( -sin theta sin phi ) cdot s^2
  1. Para partial zpartial t = 2 s t cos theta cos phi - s^2 sin theta sin phi :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = t^2 cos theta cos phi - 2 s t sin theta sin phi
partial zpartial t = 2 s t cos theta cos phi - s^2 sin theta sin phi

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