Utilize a Regra da Cadeia para determinar
:
;
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função
, onde
e
também são funções de
e
:
O objetivo é usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Ou seja, precisamos determinar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
substituindo
e
por suas expressões em termos de
e
:
Agora,
está totalmente expresso em função de
e
.
Passo 3
Para encontrar as derivadas parciais
e
, vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra nos permite derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções.
A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis diz que:
Passo 4
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
- Derivadas de
em relação a e :
- Derivadas de
e em relação a e :
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na Regra da Cadeia:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Use a derivação implícita para determinar
e
:
Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem da função:
.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
4.
4.
Suponha que a série de potências
satisfaça
para todo
. Mostre que, se
existir, entāo ele será igual ao raio de convergência da série de potências.