Use a derivação implícita para determinar e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e , usando derivação implícita. A equação que temos é:
Para isso, vamos precisar entender como aplicar a derivação implícita e as regras de diferenciação, especialmente quando as variáveis estão misturadas dentro de funções como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , tratando como constante e como uma função de .
Derivando o lado esquerdo:
Agora, derivando em relação a :
Então, o lado esquerdo fica:
Derivando o lado direito:
Agora, igualando os dois lados:

Passo 3

Vamos isolar :
Primeiro, distribuindo o cosseno:
Agora, vamos reunir os termos com de um lado:
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 4

Agora, vamos repetir o processo para encontrar . Derivando ambos os lados da equação em relação a :
Derivando o lado esquerdo:
Derivando em relação a :
Então, o lado esquerdo fica:
Derivando o lado direito:
Igualando os dois lados:
Isolando :
Distribuindo o cosseno:
Reunindo os termos com :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem da função: .
O valor da expressão é:
a)
b)
c)
d)
e)
Utilize a Regra da Cadeia para determinar : ;
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
4.