Use a derivação implícita para determinar partial zpartial x e partial zpartial y: sen(x y z)=x+2 y+3 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar as derivadas parciais de sin(x y z) = x + 2 y + 3 z em relação a e , usando derivação implícita. A equação que temos é:
Para isso, vamos precisar entender como aplicar a derivação implícita e as regras de diferenciação, especialmente quando as variáveis estão misturadas dentro de funções como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar ddx sin(x y z) = cos(x y z) cdot ddx(x y z) . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a ddx(x y z) = y z + x y partial zpartial x , tratando cos(x y z) cdot (y z + x y partial zpartial x) como constante e ddx (x + 2 y + 3 z) = 1 + 0 + 3 partial zpartial x como uma função de cos(x y z) cdot (y z + x y partial zpartial x) = 1 + 3 partial zpartial x .
Derivando o lado esquerdo:
Agora, derivando em relação a :
Então, o lado esquerdo fica:
Derivando o lado direito:
Agora, igualando os dois lados:

Passo 3

Vamos isolar cos(x y z) y z + cos(x y z) x y partial zpartial x = 1 + 3 partial zpartial x :
Primeiro, distribuindo o cosseno:
cos(x y z) x y partial zpartial x - 3 partial zpartial x = 1 - cos(x y z) y z
Agora, vamos reunir os termos com partial zpartial x (cos(x y z) x y - 3) = 1 - cos(x y z) y z de um lado:
partial zpartial x = 1 - cos(x y z) y zcos(x y z) x y - 3
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 4

Agora, vamos repetir o processo para encontrar ddy sin(x y z) = cos(x y z) cdot ddy(x y z) . Derivando ambos os lados da equação em relação a ddy(x y z) = x z + x y partial zpartial y :
Derivando o lado esquerdo:
cos(x y z) cdot (x z + x y partial zpartial y)
Derivando ddy (x + 2 y + 3 z) = 0 + 2 + 3 partial zpartial y em relação a cos(x y z) cdot (x z + x y partial zpartial y) = 2 + 3 partial zpartial y :
cos(x y z) x z + cos(x y z) x y partial zpartial y = 2 + 3 partial zpartial y
Então, o lado esquerdo fica:
cos(x y z) x y partial zpartial y - 3 partial zpartial y = 2 - cos(x y z) x z
Derivando o lado direito:
partial zpartial y (cos(x y z) x y - 3) = 2 - cos(x y z) x z
Igualando os dois lados:
partial zpartial y = 2 - cos(x y z) x zcos(x y z) x y - 3
Isolando :
Distribuindo o cosseno:
Reunindo os termos com :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 1 - cos(x y z) y zcos(x y z) x y - 3
e
partial zpartial y = 2 - cos(x y z) x zcos(x y z) x y - 3

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