Use a derivação implícita para determinar
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, usando derivação implícita. A equação que temos é:
Para isso, vamos precisar entender como aplicar a derivação implícita e as regras de diferenciação, especialmente quando as variáveis estão misturadas dentro de funções como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como constante e
como uma função de
.
Derivando o lado esquerdo:
Agora, derivando
em relação a
:
Então, o lado esquerdo fica:
Derivando o lado direito:
Agora, igualando os dois lados:
Passo 3
Vamos isolar
:
Primeiro, distribuindo o cosseno:
Agora, vamos reunir os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Passo 4
Agora, vamos repetir o processo para encontrar
. Derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Derivando o lado esquerdo:
Derivando
em relação a
:
Então, o lado esquerdo fica:
Derivando o lado direito:
Igualando os dois lados:
Isolando
:
Distribuindo o cosseno:
Reunindo os termos com
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem da função:
.
O valor da expressão
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Utilize a Regra da Cadeia para determinar
:
;
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
4.
4.