Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
f(x, y) = tg(x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável, aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Lembre-se que uma derivada parcial mede como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes.

Passo 3

A função é . Para derivar em relação a , tratamos como uma constante. A derivada da tangente é , onde é a função interna. Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Como é constante, a derivada de em relação a é simplesmente :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra da cadeia.

Passo 7

Derivando em relação a :

Passo 8

Derivando em relação a , onde é constante:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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