Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável, aplicando a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Lembre-se que uma derivada parcial mede como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes.
Passo 3
A função é
. Para derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. A derivada da tangente é
, onde
é a função interna. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
é constante, a derivada de
em relação a
é simplesmente
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra da cadeia.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Derivando
em relação a
, onde
é constante:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e