Mostre que não existe nenhuma função
cujas derivadas parciais são
e
e cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que não existe nenhuma função
cujas derivadas parciais são
e
, assumindo que as derivadas de segunda ordem são contínuas. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre as condições necessárias para que derivadas parciais sejam compatíveis e realmente derivadas de uma mesma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma função
tiver derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então as derivadas cruzadas devem ser iguais. Ou seja,
. Isso é conhecido como a condição de compatibilidade ou teorema de Schwarz.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Comparando os resultados, temos que:
Eles não são iguais, ou seja,
.
Passo 6
Como as derivadas cruzadas não são iguais, isso viola a condição necessária para que
exista com as derivadas parciais dadas e derivadas de segunda ordem contínuas.
Resposta
Portanto, não existe nenhuma função
que satisfaça as condições apresentadas no enunciado.