Mostre que não existe nenhuma função f(x, y) cujas derivadas parciais são f_x(x, y) = x + 4 y e fy(x, y) = 3x - y e cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que não existe nenhuma função cujas derivadas parciais são e , assumindo que as derivadas de segunda ordem são contínuas. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre as condições necessárias para que derivadas parciais sejam compatíveis e realmente derivadas de uma mesma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma função tiver derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então as derivadas cruzadas devem ser iguais. Ou seja, . Isso é conhecido como a condição de compatibilidade ou teorema de Schwarz.

Passo 3

Vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Comparando os resultados, temos que:
Eles não são iguais, ou seja, .

Passo 6

Como as derivadas cruzadas não são iguais, isso viola a condição necessária para que exista com as derivadas parciais dadas e derivadas de segunda ordem contínuas.

Resposta

Portanto, não existe nenhuma função que satisfaça as condições apresentadas no enunciado.

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