A função definida por
é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).
(a) Encontre o domínio da funçāo de Airy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que a gente tem aqui fala sobre a função de Airy, que é uma função definida por uma série infinita. Nosso objetivo é encontrar o domínio dessa função, ou seja, descobrir para quais valores de a série converge e a função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que define a função de Airy:
A série é composta por termos que aumentam o expoente de em múltiplos de 3 e os denominadores têm produtos de números pares e ímpares.

Passo 3

Para encontrar o domínio da função, precisamos determinar para quais valores de essa série converge. Ou seja, onde a soma infinita dela faz sentido e não dá infinito.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Razão, que é um método para verificar a convergência de séries infinitas. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência da série.
O teste diz que:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos identificar e na nossa série:
O termo geral da série de Airy é:
E o próximo termo será:

Passo 6

Agora, calculamos a razão :
Isso simplifica para:

Passo 7

Vamos calcular o limite :
Como tende ao infinito, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. Então, o limite será 0 para qualquer valor finito de .

Passo 8

Já que para todos os valores de , a série converge para qualquer número real. Isso significa que a função de Airy está bem definida para todo real.

Resposta

O domínio da função de Airy é todos os números reais, ou seja, .

Exercícios relacionados

Suponha que a série de potências satisfaça para todo . Mostre que, se existir, entāo ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
4.
Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do problema dado a seguir:
Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.