é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).
(a) Encontre o domínio da funçāo de Airy.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que a gente tem aqui fala sobre a função de Airy, que é uma função definida por uma série infinita. Nosso objetivo é encontrar o domínio dessa função, ou seja, descobrir para quais valores de a série converge e a função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que define a função de Airy:
A série é composta por termos que aumentam o expoente de em múltiplos de 3 e os denominadores têm produtos de números pares e ímpares.
Passo 3
Para encontrar o domínio da função, precisamos determinar para quais valores de essa série converge. Ou seja, onde a soma infinita dela faz sentido e não dá infinito.
Passo 4
Vamos usar o Teste da Razão, que é um método para verificar a convergência de séries infinitas. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência da série.
O teste diz que:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos identificar e na nossa série:
O termo geral da série de Airy é:
E o próximo termo será:
Passo 6
Agora, calculamos a razão :
Isso simplifica para:
Passo 7
Vamos calcular o limite :
Como tende ao infinito, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. Então, o limite será 0 para qualquer valor finito de .
Passo 8
Já que para todos os valores de , a série converge para qualquer número real. Isso significa que a função de Airy está bem definida para todo real.
Resposta
O domínio da função de Airy é todos os números reais, ou seja, .