Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do problema dado a seguir:
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a transformada de Laplace para resolver uma equação diferencial que envolve uma integral. A matéria aqui é sobre transformadas de Laplace e equações diferenciais integrais. Para resolver, vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e convoluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Nossa meta é aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados dessa equação para facilitar a resolução.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace na derivada
. Sabemos que:
Como
, fica:
Passo 4
Agora, aplicamos a transformada de Laplace no termo
:
Passo 5
Para a integral no lado direito, reconhecemos que é uma convolução entre
e
. A transformada de Laplace da convolução é o produto das transformadas individuais:
Passo 6
Agora, substituímos todas as transformadas na equação original:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Para que essa equação seja verdadeira, ou
ou o termo dentro dos parênteses é zero. Vamos considerar
:
Isso implica que a solução na transformada de Laplace é zero, ou seja,
.
Passo 8
Aplicando a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é
.