Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do problema dado a seguir:
y^prime(t)+y(t)=integral0^t sen(t-tau) y(tau) d tau, com y(0)=0

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a transformada de Laplace para resolver uma equação diferencial que envolve uma integral. A matéria aqui é sobre transformadas de Laplace e equações diferenciais integrais. Para resolver, vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e convoluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
y^prime(t) + y(t) = integral0^t sin(t - tau) y(tau) dtau, y(0) = 0
Nossa meta é aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados dessa equação para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace na derivada Ly^prime(t) = sY(s) - y(0) . Sabemos que:
Ly^prime(t) = sY(s)
Como , fica:

Passo 4

Agora, aplicamos a transformada de Laplace no termo Ly(t) = Y(s) :

Passo 5

Para a integral no lado direito, reconhecemos que é uma convolução entre L integral0^t sin(t - tau) y(tau) dtau = Lsin(t) cdot Ly(t) = 1s^2 + 1 Y(s) e . A transformada de Laplace da convolução é o produto das transformadas individuais:

Passo 6

Agora, substituímos todas as transformadas na equação original:
sY(s) + Y(s) = 1s^2 + 1 Y(s)
Podemos fatorar Y(s) ( s + 1 - 1s^2 + 1 ) = 0 :

Passo 7

Para que essa equação seja verdadeira, ou ou o termo dentro dos parênteses é zero. Vamos considerar :
Isso implica que a solução na transformada de Laplace é zero, ou seja, .

Passo 8

Aplicando a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t) = L^-1Y(s) = L^-10 = 0 :

Resposta

A solução da equação diferencial dada é .

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