Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do problema dado a seguir:
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a transformada de Laplace para resolver uma equação diferencial que envolve uma integral. A matéria aqui é sobre transformadas de Laplace e equações diferenciais integrais. Para resolver, vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e convoluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Nossa meta é aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados dessa equação para facilitar a resolução.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace na derivada
. Sabemos que:
Como
, fica:
Passo 4
Agora, aplicamos a transformada de Laplace no termo
:
Passo 5
Para a integral no lado direito, reconhecemos que é uma convolução entre
e
. A transformada de Laplace da convolução é o produto das transformadas individuais:
Passo 6
Agora, substituímos todas as transformadas na equação original:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Para que essa equação seja verdadeira, ou
ou o termo dentro dos parênteses é zero. Vamos considerar
:
Isso implica que a solução na transformada de Laplace é zero, ou seja,
.
Passo 8
Aplicando a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é
.
Exercícios relacionados
A função
definida por
é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).
(a) Encontre o domínio da funçāo de Airy.
(a) Encontre o domínio da funçāo de Airy.
Suponha que a série de potências
satisfaça
para todo
. Mostre que, se
existir, entāo ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Mostre que não existe nenhuma função
cujas derivadas parciais são
e
e cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas.