Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de funções de duas variáveis, e a regra da cadeia para encontrar essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e . Para isso, precisamos aplicar a regra da derivada da função arcotangente e a regra da cadeia.
A derivada da função em relação a é:
Então, para , vamos definir:

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar e :

Passo 5

Simplificamos o denominador comum das duas derivadas:
Então,

Passo 6

Agora, vamos encontrar as derivadas de segunda ordem: , e .
Primeiro, calculamos :
Aplicamos a regra do quociente:
onde e .
Então,
Simplificando,

Passo 7

De maneira similar, calculamos :
Aplicando a regra do quociente:
onde e .
Então,
Simplificando,

Passo 8

Por fim, calculamos :
Aplicando a regra do quociente:
onde e .
Então,
Simplificando o numerador:
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função dada são:

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