Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de funções de duas variáveis, e a regra da cadeia para encontrar essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
. Para isso, precisamos aplicar a regra da derivada da função arcotangente e a regra da cadeia.
A derivada da função
em relação a
é:
Então, para
, vamos definir:
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
e
:
Passo 5
Simplificamos o denominador comum das duas derivadas:
Então,
Passo 6
Agora, vamos encontrar as derivadas de segunda ordem:
,
e
.
Primeiro, calculamos
:
Aplicamos a regra do quociente:
onde
e
.
Então,
Simplificando,
Passo 7
De maneira similar, calculamos
:
Aplicando a regra do quociente:
onde
e
.
Então,
Simplificando,
Passo 8
Por fim, calculamos
:
Aplicando a regra do quociente:
onde
e
.
Então,
Simplificando o numerador:
Portanto,
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função dada são:
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e um vértice é
.
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Obs.: Não precisa de cortes. Atenção no esboço.