(Oscilações simples) Para um oscilador unidimensional, a equação de movimento é descrita como:
m d^2x/dt^2 = -k x
onde k e m são constantes, respectivamente a constante elástica da mola e a massa do bloco. Encontre a expressão para o movimento do bloco, x(t), resolvendo a equação diferencial acima.
Sugestão: Utilizar a notação: k/m = omega_0^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre oscilações simples e nos dá a equação de movimento de um oscilador unidimensional:
Aqui, é a massa do bloco e é a constante elástica da mola. Nosso objetivo é encontrar a função que descreve o movimento do bloco ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e oscilações harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação de movimento para deixá-la mais fácil de trabalhar. Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso nos dá uma equação diferencial do tipo:

Passo 3

Agora, vamos identificar o que essa equação representa. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, típica de um movimento harmônico simples. A sugestão do exercício nos indica que podemos usar a notação:
Substituindo isso na equação, ficamos com:
Aqui, é a frequência angular natural do sistema.

Passo 4

Sabemos que a solução geral dessa equação diferencial é uma combinação de funções seno e cosseno com a frequência . Então, a expressão para é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema, como posição e velocidade iniciais do bloco.

Resposta

A expressão para o movimento do bloco é:

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