(Oscilações simples) Para um oscilador unidimensional, a equação de movimento é descrita como:
onde k e m são constantes, respectivamente a constante elástica da mola e a massa do bloco. Encontre a expressão para o movimento do bloco,
, resolvendo a equação diferencial acima.
Sugestão: Utilizar a notação:
.
Sugestão: Utilizar a notação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre oscilações simples e nos dá a equação de movimento de um oscilador unidimensional:
Aqui,
é a massa do bloco e
é a constante elástica da mola. Nosso objetivo é encontrar a função
que descreve o movimento do bloco ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e oscilações harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação de movimento para deixá-la mais fácil de trabalhar. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso nos dá uma equação diferencial do tipo:
Passo 3
Agora, vamos identificar o que essa equação representa. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, típica de um movimento harmônico simples. A sugestão do exercício nos indica que podemos usar a notação:
Substituindo isso na equação, ficamos com:
Aqui,
é a frequência angular natural do sistema.
Passo 4
Sabemos que a solução geral dessa equação diferencial é uma combinação de funções seno e cosseno com a frequência
. Então, a expressão para
é:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema, como posição e velocidade iniciais do bloco.
Resposta
A expressão para o movimento do bloco é: