Encontre o ângulo entre as retas r: x-22=y=z+1 e s: x=y+1=z-2.

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver o problema de encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente o uso de vetores diretores e a fórmula do produto escalar para calcular o ângulo entre eles. Precisamos identificar os vetores diretores das duas retas e aplicar a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas x = 2 + 2t y = t z = -1 + t e 2 1 1 a partir das equações dadas.
Para a reta x = t + 1 y = t z = t + 2 , podemos reescrever em forma paramétrica:
1 1 1
O vetor diretor da reta é .
Para a reta , reescrevendo em forma paramétrica:
O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo u cdot v = |u| , |v| cos(theta) entre os vetores u cdot v = (2)(1) + (1)(1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4 e |u| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 :
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Primeiro, calculamos o produto escalar:
4 = raiz6 cdot raiz3 cdot cos(theta)
Em seguida, calculamos as magnitudes dos vetores:
4 = raiz18 cdot cos(theta)
4 = 3raiz2 cdot cos(theta)
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 4

Isolamos cos(theta) = 43raiz2 = 4raiz26 = 2raiz23 :
theta = arccos(2raiz23)
Agora, calculamos o ângulo theta approx 35,26^circ usando a função arco cosseno:
Calculando o valor numérico:

Resposta

O ângulo entre as retas e é de aproximadamente .

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