Determine todas as funçoes que tornam exata a equação diferencial

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as funções que tornam a equação diferencial
exata. Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais, especificamente na condição de exatidão. Para resolver, vamos precisar lembrar como identificar se uma equação diferencial é exata e como determinar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :
onde é a derivada de em relação a .

Passo 4

Para que a equação seja exata, as duas derivadas parciais devem ser iguais:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (considerando ):

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para :
Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

Vamos realizar a integração:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Portanto, todas as funções que tornam a equação diferencial exata são da forma:
onde é uma constante real qualquer.

Resposta

Todas as funções que tornam a equação exata são da forma , onde é uma constante real qualquer.

Exercícios relacionados

Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: