Determine todas as funçoes
que tornam exata a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as funções
que tornam a equação diferencial
exata. Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais, especificamente na condição de exatidão. Para resolver, vamos precisar lembrar como identificar se uma equação diferencial é exata e como determinar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Para que a equação seja exata, as duas derivadas parciais devem ser iguais:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Vamos realizar a integração:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Portanto, todas as funções
que tornam a equação diferencial exata são da forma:
onde
é uma constante real qualquer.
Resposta
Todas as funções que tornam a equação exata são da forma
, onde
é uma constante real qualquer.
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