Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais não exatas, então vamos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata. Para isso, vamos identificar as partes
e
da equação e verificar se ela é exata. Se não for, aplicaremos um fator integrante apropriado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão
:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Uma equação é exata se
. Aqui, temos
, então a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
ou
que torne a equação exata. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
.
A condição para que
torne a equação exata é:
Substituindo os valores:
Observamos que essa expressão ainda depende de
, o que sugere que tentar um fator que depende apenas de
pode não ser o melhor caminho. Vamos então tentar um fator integrante que depende apenas de
.
Passo 5
Assumindo que
, a condição para exatidão é:
Substituindo os valores:
Novamente, a presença de
na expressão indica que um fator integrante que depende apenas de
também não resolve o problema. Portanto, precisamos considerar um fator integrante que dependa de ambas as variáveis ou buscar outra abordagem.
Passo 6
Uma alternativa é procurar um fator integrante da forma
. Vamos tentar encontrar valores de
e
que tornem a equação exata.
Multiplicando a equação original por
:
As novas funções
e
serão:
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando as duas derivadas e resolvendo para
e
, encontramos valores que tornam a equação exata. Após alguns cálculos, verificamos que
e
funcionam.
Passo 7
Com
e
, o fator integrante é:
Multiplicando a equação original por
:
Agora, calculamos as derivadas parciais novamente:
Houve um erro na escolha de
e
. Vamos ajustar os valores.
Passo 8
Retornando à escolha do fator integrante, verificamos que uma melhor opção é
. Vamos testar:
Multiplicando a equação original por
:
Agora, temos:
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação se tornou exata com o fator integrante
.
Passo 9
Agora que a equação é exata, podemos encontrar a solução
integrando
em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Integrando
:
Portanto, a solução implícita é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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Determine todas as funçoes
que tornam exata a equação diferencial
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: