Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais não exatas, então vamos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata. Para isso, vamos identificar as partes e da equação e verificar se ela é exata. Se não for, aplicaremos um fator integrante apropriado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão :
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Uma equação é exata se . Aqui, temos , então a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante ou que torne a equação exata. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de .
A condição para que torne a equação exata é:
Substituindo os valores:
Observamos que essa expressão ainda depende de , o que sugere que tentar um fator que depende apenas de pode não ser o melhor caminho. Vamos então tentar um fator integrante que depende apenas de .

Passo 5

Assumindo que , a condição para exatidão é:
Substituindo os valores:
Novamente, a presença de na expressão indica que um fator integrante que depende apenas de também não resolve o problema. Portanto, precisamos considerar um fator integrante que dependa de ambas as variáveis ou buscar outra abordagem.

Passo 6

Uma alternativa é procurar um fator integrante da forma . Vamos tentar encontrar valores de e que tornem a equação exata.
Multiplicando a equação original por :
As novas funções e serão:
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando as duas derivadas e resolvendo para e , encontramos valores que tornam a equação exata. Após alguns cálculos, verificamos que e funcionam.

Passo 7

Com e , o fator integrante é:
Multiplicando a equação original por :
Agora, calculamos as derivadas parciais novamente:
Houve um erro na escolha de e . Vamos ajustar os valores.

Passo 8

Retornando à escolha do fator integrante, verificamos que uma melhor opção é . Vamos testar:
Multiplicando a equação original por :
Agora, temos:
Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação se tornou exata com o fator integrante .

Passo 9

Agora que a equação é exata, podemos encontrar a solução integrando em relação a :
Derivando em relação a e igualando a :
Integrando :
Portanto, a solução implícita é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
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Determine todas as funçoes que tornam exata a equação diferencial
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: