Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial com a condição inicial . Esse tipo de problema envolve equações diferenciais ordinárias (EDOs) e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis e na equação. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro. A equação original é:
Podemos reescrever como :
Agora, multiplicamos ambos os lados por para separar as variáveis:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. Vamos começar integrando o lado esquerdo em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos integrar o lado direito em relação a . A integral é:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então ou . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
onde é a constante de integração combinada.

Passo 6

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e na equação:

Passo 7

Com o valor de conhecido, substituímos de volta na equação geral:

Passo 8

Isolamos multiplicando todos os termos por 2:

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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