Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com a condição inicial
. Esse tipo de problema envolve equações diferenciais ordinárias (EDOs) e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis
e
na equação. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro. A equação original é:
Podemos reescrever
como
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. Vamos começar integrando o lado esquerdo em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar o lado direito em relação a
. A integral é:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
ou
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
onde
é a constante de integração combinada.
Passo 6
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Com o valor de
conhecido, substituímos de volta na equação geral:
Passo 8
Isolamos
multiplicando todos os termos por 2:
Passo 9
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Determine todas as funçoes
que tornam exata a equação diferencial
Resolva as equacooes diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não exat as:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: