Determine todas as matrizes reais X de ordem 2 times 2 tais que
X^2=(ll 3 & 4 2 & 3 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as matrizes reais X^2=(ll 3 & 4 2 & 3 ) de ordem que, ao serem elevadas ao quadrado, resultem na matriz dada:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre como multiplicar matrizes e resolver sistemas de equações. Vamos por partes para entender direitinho como encontrar todas as possíveis matrizes .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma matriz geral X = (ll a & b c & d ) de ordem A = (ll 3 & 4 2 & 3 ) :
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem a equação , onde

Passo 3

Vamos calcular X^2 = (ll a & b c & d ) (ll a & b c & d ) = (ll a^2 + bc & ab + bd ac + cd & bc + d^2 ) multiplicando a^2 + bc = 3 ab + bd = 4 ac + cd = 2 bc + d^2 = 3 por ela mesma:
Agora, igualamos cada elemento de com o correspondente em :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Começamos observando as equações 2 e 3:
ab + bd = 4 ac + cd = 2
Fatorando b(a + d) = 4 c(a + d) = 2 e c(a + d)b(a + d) = 24 Rightarrow cb = 12 Rightarrow c = b2 respectivamente:
Podemos dividir a segunda equação pela primeira:

Passo 5

Com a^2 + b (b2) = 3 Rightarrow a^2 + b^22 = 3 , substituímos na equação 1:
b (b2) + d^2 = 3 Rightarrow b^22 + d^2 = 3
E na equação 4:
a + d = 4b
Também sabemos que de , isolamos :

Passo 6

Expressamos d = 4b - a em termos de b^22 + (4b - a)^2 = 3 :
16 cdot 1b^2 - 8 cdot ab + a^2 + b^22 = 3
Agora, substituímos a = 2b na equação :
Expandindo e simplificando, chegamos a uma relação entre e :
Usando a equação , simplificamos e descobrimos que:

Passo 7

Com 2b + d = 4b Rightarrow d = 2b e (2b)^2 + b^22 = 3 Rightarrow 4b^2 + b^22 = 3 , substituímos na equação 8 + b^4 = 6b^2 Rightarrow b^4 - 6b^2 + 8 = 0 :
u^2 - 6u + 8 = 0
Agora, voltamos à equação u = 6 pm raiz36 - 322 = 6 pm 22 Rightarrow u = 4 ou u = 2 e substituímos :
Multiplicando todos os termos por para eliminar denominadores:
Substituindo , temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, ou , o que nos dá ou .

Passo 8

Vamos considerar cada caso para encontrar as matrizes a = 22 = 1, c = 22 = 1, d = 22 = 1 :
Caso 1: X = (ll 1 & 2 1 & 1 )
a = 2-2 = -1, c = -22 = -1, d = 2-2 = -1
Então,
X = (ll -1 & -2 -1 & -1 )
Caso 2: a = 2raiz2 = raiz2, c = raiz22, d = 2raiz2 = raiz2
X = (ll raiz2 & raiz2 raiz22 & raiz2 )
Então,
a = 2-raiz2 = -raiz2, c = -raiz22 = -raiz22, d = 2-raiz2 = -raiz2
Caso 3: X = (ll -raiz2 & -raiz2 -raiz22 & -raiz2 )
Então,
Caso 4:
Então,

Resposta

As matrizes reais ll 3 & 4 2 & 3 de ordem X = (ll 1 & 2 1 & 1 ), X = (ll -1 & -2 -1 & -1 ), que satisfazem X = (ll raiz2 & raiz2 raiz22 & raiz2 ), X = (ll -raiz2 & -raiz2 -raiz22 & -raiz2 ) são:

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