Determine todas as matrizes reais de ordem tais que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as matrizes reais de ordem que, ao serem elevadas ao quadrado, resultem na matriz dada:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre como multiplicar matrizes e resolver sistemas de equações. Vamos por partes para entender direitinho como encontrar todas as possíveis matrizes .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma matriz geral de ordem :
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem a equação , onde

Passo 3

Vamos calcular multiplicando por ela mesma:
Agora, igualamos cada elemento de com o correspondente em :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Começamos observando as equações 2 e 3:
Fatorando e respectivamente:
Podemos dividir a segunda equação pela primeira:

Passo 5

Com , substituímos na equação 1:
E na equação 4:
Também sabemos que de , isolamos :

Passo 6

Expressamos em termos de :
Agora, substituímos na equação :
Expandindo e simplificando, chegamos a uma relação entre e :
Usando a equação , simplificamos e descobrimos que:

Passo 7

Com e , substituímos na equação :
Agora, voltamos à equação e substituímos :
Multiplicando todos os termos por para eliminar denominadores:
Substituindo , temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, ou , o que nos dá ou .

Passo 8

Vamos considerar cada caso para encontrar as matrizes :
Caso 1:
Então,
Caso 2:
Então,
Caso 3:
Então,
Caso 4:
Então,

Resposta

As matrizes reais de ordem que satisfazem são:

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Escreva explicitamente a matriz .
  1. Seja a matriz onde
Escreva explicitamente a matriz .
Sejam e matrizes . Mostre que é simétrica
Sejam e matrizes . Mostre que