Determine todas as matrizes reais de ordem tais que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as matrizes reais de ordem que, ao serem elevadas ao quadrado, resultem na matriz dada:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre como multiplicar matrizes e resolver sistemas de equações. Vamos por partes para entender direitinho como encontrar todas as possíveis matrizes .
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma matriz geral de ordem :
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfazem a equação , onde
Passo 3
Vamos calcular multiplicando por ela mesma:
Agora, igualamos cada elemento de com o correspondente em :
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Começamos observando as equações 2 e 3:
Fatorando e respectivamente:
Podemos dividir a segunda equação pela primeira:
Passo 5
Com , substituímos na equação 1:
E na equação 4:
Também sabemos que de , isolamos :
Passo 6
Expressamos em termos de :
Agora, substituímos na equação :
Expandindo e simplificando, chegamos a uma relação entre e :
Usando a equação , simplificamos e descobrimos que:
Passo 7
Com e , substituímos na equação :
Agora, voltamos à equação e substituímos :
Multiplicando todos os termos por para eliminar denominadores:
Substituindo , temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, ou , o que nos dá ou .
Passo 8
Vamos considerar cada caso para encontrar as matrizes :