Sejam
e
matrizes
. Mostre que
é simétrica
Passo 1
Então, a gente tem duas matrizes quadradas
e
de ordem
. A questão pede para mostrar que
é simétrica. Vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a transposta de uma matriz para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a transposta de
. Usando a propriedade das transpostas, sabemos que a transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das transpostas:
Passo 4
Sabemos também que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz original, ou seja,
. Então, substituindo na equação:
Passo 5
Como a soma é comutativa, podemos reescrever:
Isso mostra que:
Resposta
Portanto,
é uma matriz simétrica.
Exercícios relacionados
Determine todas as matrizes reais
de ordem
tais que
- Seja
a matriz quadrada de ordem 2 definida por
Escreva explicitamente a matriz
.
Sejam
e
matrizes
. Mostre que
Sejam
e
matrizes
. Mostre que
é uma matriz simétrica