Sejam A e B matrizes n times n. Mostre que A+A^t é simétrica

Passo 1

Então, a gente tem duas matrizes quadradas e de ordem . A questão pede para mostrar que é simétrica. Vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a transposta de uma matriz para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Agora, vamos calcular a transposta de (A + A^t)^t = A^t + (A^t)^t . Usando a propriedade das transpostas, sabemos que a transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das transpostas:

Passo 4

Sabemos também que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz original, ou seja, (A + A^t)^t = A^t + A . Então, substituindo na equação:

Passo 5

Como a soma é comutativa, podemos reescrever:
A^t + A = A + A^t
Isso mostra que:
(A + A^t)^t = A + A^t

Resposta

Portanto, é uma matriz simétrica.

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