Sejam A e B matrizes n times n. Mostre que (A^3)^t=(A^t)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que, se você tem uma matriz de tamanho , então o transposto de é igual ao cubo do transposto de , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar propriedades das matrizes, especialmente sobre transpostos e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é simplesmente multiplicada por ela mesma três vezes: .

Passo 3

Sabemos que o transposto de um produto de matrizes segue a regra . Vamos aplicar essa propriedade ao .

Passo 4

Aplicando a propriedade, temos:
(A cdot A cdot A)^t = (A cdot A)^t cdot A^t
Mas primeiro, aplicamos a propriedade ao primeiro produto:
(A cdot A)^t = A^t cdot A^t

Passo 5

Agora, substituímos de volta:
(A cdot A cdot A)^t = (A^t cdot A^t) cdot A^t = A^t cdot A^t cdot A^t

Passo 6

Perceba que (A^3)^t = (A^t)^3 é exatamente . Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que .

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