Sejam
e
matrizes
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que, se você tem uma matriz
de tamanho
, então o transposto de
é igual ao cubo do transposto de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar propriedades das matrizes, especialmente sobre transpostos e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso é simplesmente
multiplicada por ela mesma três vezes:
.
Passo 3
Sabemos que o transposto de um produto de matrizes segue a regra
. Vamos aplicar essa propriedade ao
.
Passo 4
Aplicando a propriedade, temos:
Mas primeiro, aplicamos a propriedade ao primeiro produto:
Passo 5
Agora, substituímos de volta:
Passo 6
Perceba que
é exatamente
. Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
matrizes
. Mostre que
é simétrica
Determine todas as matrizes reais
de ordem
tais que
Sejam
e
matrizes
. Mostre que
é uma matriz simétrica
Sejam
e
matrizes
. Mostre que