Determine todas as matrizes X tais que A X=X A sendo A=(ll1 & 1 0 & 0).
Resposta: Matrizes da forma X=(ccx & y 0 & w) com x=y+w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as matrizes A = 1 & 1 0 & 0 que satisfazem a equação , onde a matriz é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com matrizes e comutatividade delas, ou seja, queremos que a ordem de multiplicação entre e não importe. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e como igualar as entradas resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que X = x & y z & w seja uma matriz geral :
Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem com que .

Passo 3

Vamos calcular A X = 1 & 1 0 & 0 x & y z & w = 1 cdot x + 1 cdot z & 1 cdot y + 1 cdot w 0 cdot x + 0 cdot z & 0 cdot y + 0 cdot w = x + z & y + w 0 & 0 :

Passo 4

Agora, vamos calcular X A = x & y z & w 1 & 1 0 & 0 = x cdot 1 + y cdot 0 & x cdot 1 + y cdot 0 z cdot 1 + w cdot 0 & z cdot 1 + w cdot 0 = x & x z & z :

Passo 5

Para que x + z = x y + w = x 0 = z 0 = z , as duas matrizes resultantes devem ser iguais. Então, igualamos as entradas correspondentes:

Passo 6

Vamos resolver essas equações:
  1. implica que .
  2. .
  3. As últimas duas equações já confirmam que .

Passo 7

Com X = x & y 0 & w , nossa matriz fica:
E a relação deve ser satisfeita.

Resposta

Todas as matrizes X = x & y 0 & w com x = y + w que comutam com são da forma:

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