Determine todas as matrizes tais que sendo .
Resposta: Matrizes da forma .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as matrizes que satisfazem a equação , onde a matriz é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com matrizes e comutatividade delas, ou seja, queremos que a ordem de multiplicação entre e não importe. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e como igualar as entradas resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que seja uma matriz geral :
Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem com que .
Passo 3
Vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Passo 5
Para que , as duas matrizes resultantes devem ser iguais. Então, igualamos as entradas correspondentes:
Passo 6
Vamos resolver essas equações:
implica que .
.
As últimas duas equações já confirmam que .
Passo 7
Com X = x & y 0 & w , nossa matriz fica:
E a relação deve ser satisfeita.
Resposta
Todas as matrizes X = x & y 0 & w com x = y + w que comutam com são da forma: