(0,5 pt) Os vetores u=(1,1,-1), v=(2,-3,1) e w=(0,4,2) são coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá três vetores: u = (1,1,-1), v = (2,-3,1) e w = (0,4,2). O assunto aqui é coplanaridade de vetores, que está relacionado ao álgebra vetorial. Para verificar se esses vetores são coplanares, vamos precisar usar o determinante de uma matriz formada por eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vetores coplanares. Três vetores são coplanares se eles estiverem todos no mesmo plano. Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o seu determinante. Se o determinante for igual a zero, significa que os vetores são coplanares.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores u, v e w como colunas:
1 & 2 & 0 1 & -3 & 4 -1 & 1 & 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (-3 cdot 2 - 4 cdot 1) - 2 cdot (1 cdot 2 - 4 cdot (-1)) + 0 cdot (1 cdot 1 - (-3) cdot (-1))

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
1 cdot (-6 - 4) = 1 cdot (-10) = -10
-2 cdot (2 + 4) = -2 cdot 6 = -12
0 cdot (1 - 3) = 0 cdot (-2) = 0
Somando tudo:
-10 - 12 + 0 = -22

Resposta

Como o determinante é diferente de zero ( -22 neq 0), os vetores u, v e w não são coplanares.

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