Monte a matriz A=[ai j] de ordem N times N tal que
ai j=l 1 se i=j (-1)^i se j-i=1 (-1)^j-1 se i-j=1 0 nos outros casos
Sendo A a matriz dada acima, determine:
a. A+IN;
b. A B, sendo B=[bi j] uma matriz de ordem N times 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente montar uma matriz de ordem com algumas regras específicas para os elementos . O conteúdo que vamos usar aqui é de Álgebra Linear, especialmente sobre matrizes e operações com elas. Para resolver, vamos precisar entender como construir a matriz seguindo as condições dadas e depois realizar as operações solicitadas: e , onde é uma matriz coluna.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aij = 1 & se i = j (-1)^i & se j - i = 1 (-1)^j-1 & se i - j = 1 0 & nos demais casos de acordo com as regras:
Isso significa que na diagonal principal (onde ), todos os elementos são 1. Acima da diagonal principal (quando ), os elementos são , e abaixo da diagonal principal (quando ), os elementos são . Em outras posições, os elementos são 0.

Passo 3

Vamos construir uma matriz A = 1 & (-1)^1 & 0 (-1)^1-1 & 1 & (-1)^2 0 & (-1)^2-1 & 1 = 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 0 & -1 & 1 de exemplo para para visualizar:

Passo 4

Agora, vamos resolver a parte a: A + IN = 1+1 & -1 & 0 1 & 1+1 & 1 0 & -1 & 1+1 = 2 & -1 & 0 1 & 2 & 1 0 & -1 & 2 , onde é a matriz identidade de ordem . A matriz identidade tem 1 na diagonal principal e 0 nos demais lugares.
Então, significa somar 1 aos elementos da diagonal principal de :

Passo 5

Agora, vamos para a parte b: (A times B)i = sumj=1^N aij cdot bj , onde é uma matriz de ordem , ou seja, uma coluna com elementos. Vamos chamar os elementos de de .
A multiplicação de matrizes segue a regra de multiplicar as linhas de pelas colunas de . Então, o elemento resultante na posição é:

Passo 6

Vamos fazer um exemplo com b1 b2 b3 . Suponha que A times B = 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 0 & -1 & 1 b1 b2 b3 = 1 cdot b1 + (-1) cdot b2 + 0 cdot b3 1 cdot b1 + 1 cdot b2 + 1 cdot b3 0 cdot b1 + (-1) cdot b2 + 1 cdot b3 = b1 - b2 b1 + b2 + b3 -b2 + b3 . A multiplicação fica:

Resposta

a. 2 & -1 & 0 1 & 2 & 1 0 & -1 & 2
b. b1 - b2 b1 + b2 + b3 -b2 + b3

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