Expresse o vetor u=(9,6) como uma combinação linear dos vetores v=(1,2) e w=(1,-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever o vetor u = (9,6) como uma combinação linear dos vetores v = (1,2) e w = (1,-4). Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares de vetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores v e w e somados, resultem no vetor u.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar números (vamos chamá-los de a e b) tais que:
u = a cdot v + b cdot w
Substituindo os vetores que temos:
(9,6) = a cdot (1,2) + b cdot (1,-4)

Passo 3

Vamos expandir a expressão para facilitar a resolução. Multiplicamos cada componente dos vetores pelos coeficientes a e b:
(9,6) = (a cdot 1 + b cdot 1, a cdot 2 + b cdot (-4))
Isso resulta no sistema de equações:
a + b = 9 2a - 4b = 6

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela primeira equação:
a + b = 9 Rightarrow a = 9 - b
Substituímos esse valor de a na segunda equação:
2(9 - b) - 4b = 6
Simplificando:
18 - 2b - 4b = 6 18 - 6b = 6
Subtraindo 18 de ambos os lados:
-6b = -12 b = 2

Passo 5

Com o valor de b encontrado, voltamos na equação a = 9 - b:
a = 9 - 2 a = 7
Então, encontramos que a = 7 e b = 2.

Resposta

Portanto, o vetor u = (9,6) pode ser expresso como uma combinação linear de v e w da seguinte forma:
u = 7 cdot v + 2 cdot w

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