Determine todas as possíveis representações em coordenadas polares do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as possíveis representações em coordenadas polares do ponto
. Vamos trabalhar com o conteúdo de coordenadas polares e entender como diferentes combinações de
e
podem representar o mesmo ponto no plano.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que em coordenadas polares, um ponto é representado por uma distância
do polo (origem) e um ângulo
em relação ao eixo
. No entanto, essa representação não é única—podemos ter múltiplas combinações de
e
que apontam para o mesmo lugar.
Passo 3
Uma maneira de encontrar outras representações é adicionar
ao ângulo
. Isso ocorre porque um ângulo completo de
radianos traz a linha de volta para a mesma direção. Assim, se aumentarmos
a
, ainda estaremos apontando para o mesmo ponto.
Então, temos:
onde
Passo 4
Outra forma de representar o mesmo ponto é invertendo o sinal de
e adicionando
ao ângulo
. Isso porque um raio negativo aponta na direção oposta ao ângulo original. Portanto, ao trocar
por
e adicionar
a
, você ainda aponta para o mesmo ponto no plano.
Então, temos:
onde
Resposta
Todas as possíveis representações em coordenadas polares do ponto
são dadas por:
onde
é qualquer número inteiro.
Exercícios relacionados
Classifique as equações abaixo quanto à ordem e à linearidade:
$(b) , com
constantes.
$(b)
Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
(f) .
(f)
Determine qual ou quais das funções
e
são soluções da equação
Em cada item, determine as coordenadas polares com
e
do ponto cujas coordenadas cartesianas são dadas.
(a) .
(a)