Determine todas as possíveis representações em coordenadas polares do ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as possíveis representações em coordenadas polares do ponto . Vamos trabalhar com o conteúdo de coordenadas polares e entender como diferentes combinações de e podem representar o mesmo ponto no plano.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que em coordenadas polares, um ponto é representado por uma distância do polo (origem) e um ângulo em relação ao eixo . No entanto, essa representação não é única—podemos ter múltiplas combinações de e que apontam para o mesmo lugar.

Passo 3

Uma maneira de encontrar outras representações é adicionar ao ângulo . Isso ocorre porque um ângulo completo de radianos traz a linha de volta para a mesma direção. Assim, se aumentarmos a , ainda estaremos apontando para o mesmo ponto.
Então, temos:

onde é qualquer inteiro.

Passo 4

Outra forma de representar o mesmo ponto é invertendo o sinal de e adicionando ao ângulo . Isso porque um raio negativo aponta na direção oposta ao ângulo original. Portanto, ao trocar por e adicionar a , você ainda aponta para o mesmo ponto no plano.
Então, temos:

onde é qualquer inteiro.

Resposta

Todas as possíveis representações em coordenadas polares do ponto são dadas por:
onde é qualquer número inteiro.

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Classifique as equações abaixo quanto à ordem e à linearidade:
$(b) , com constantes.
Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
(f) .
Determine qual ou quais das funções e são soluções da equação
Em cada item, determine as coordenadas polares com e do ponto cujas coordenadas cartesianas são dadas.
(a) .