Determine todas as possíveis representações em coordenadas polares do ponto (r, theta) = (2, pi/3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as possíveis representações em coordenadas polares do ponto (r, theta) = (2, pi/3). Vamos trabalhar com o conteúdo de coordenadas polares e entender como diferentes combinações de r e theta podem representar o mesmo ponto no plano.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que em coordenadas polares, um ponto é representado por uma distância r do polo (origem) e um ângulo theta em relação ao eixo x. No entanto, essa representação não é única—podemos ter múltiplas combinações de r e theta que apontam para o mesmo lugar.

Passo 3

Uma maneira de encontrar outras representações é adicionar ao ângulo theta. Isso ocorre porque um ângulo completo de radianos traz a linha de volta para a mesma direção. Assim, se aumentarmos a theta, ainda estaremos apontando para o mesmo ponto.
Então, temos:

onde k é qualquer inteiro.

Passo 4

Outra forma de representar o mesmo ponto é invertendo o sinal de r e adicionando pi ao ângulo theta. Isso porque um raio negativo aponta na direção oposta ao ângulo original. Portanto, ao trocar r por e adicionar pi a theta, você ainda aponta para o mesmo ponto no plano.
Então, temos:

onde k é qualquer inteiro.

Resposta

Todas as possíveis representações em coordenadas polares do ponto são dadas por:
onde k é qualquer número inteiro.

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