Prove que é irredutível sobre

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o polinômio e precisamos provar que ele é irredutível sobre , ou seja, que não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Eisenstein ou o Teste da Irredutibilidade. Vamos seguir passo a passo para analisar esse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar aplicar o Teorema de Eisenstein, que é uma ferramenta útil para verificar a irredutibilidade de polinômios. Esse teorema diz que se existe um número primo que divide todos os coeficientes de , exceto o coeficiente líder, e não divide o termo constante, então é irredutível sobre .
Vamos observar os coeficientes do nosso polinômio:
  • Coeficiente de : 820
  • Coeficiente de : 170
  • Coeficiente de : 15
  • Termo constante: 4293

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um primo que divida todos os coeficientes exceto o líder (820) e que não divida o termo constante ao quadrado. Vamos verificar os fatores primos dos coeficientes:
Observamos que o número primo 5 divide todos os coeficientes exceto o líder (820). Vamos verificar se divide o termo constante 4293:
Como 25 não divide 4293 completamente, o Teorema de Eisenstein se aplica com o primo .

Passo 4

Portanto, de acordo com o Teorema de Eisenstein, já que existe um primo que satisfaz as condições mencionadas, podemos concluir que o polinômio é irredutível sobre .

Resposta

O polinômio é irredutível sobre .

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