Prove que
é irredutível sobre
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o polinômio
e precisamos provar que ele é irredutível sobre
, ou seja, que não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Eisenstein ou o Teste da Irredutibilidade. Vamos seguir passo a passo para analisar esse polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar aplicar o Teorema de Eisenstein, que é uma ferramenta útil para verificar a irredutibilidade de polinômios. Esse teorema diz que se existe um número primo
que divide todos os coeficientes de
, exceto o coeficiente líder, e
não divide o termo constante, então
é irredutível sobre
.
Vamos observar os coeficientes do nosso polinômio:
- Coeficiente de
: 820 - Coeficiente de
: 170 - Coeficiente de
: 15 - Termo constante: 4293
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um primo que divida todos os coeficientes exceto o líder (820) e que não divida o termo constante ao quadrado. Vamos verificar os fatores primos dos coeficientes:
Observamos que o número primo 5 divide todos os coeficientes exceto o líder (820). Vamos verificar se
divide o termo constante 4293:
Como 25 não divide 4293 completamente, o Teorema de Eisenstein se aplica com o primo
.
Passo 4
Portanto, de acordo com o Teorema de Eisenstein, já que existe um primo
que satisfaz as condições mencionadas, podemos concluir que o polinômio
é irredutível sobre
.
Resposta
O polinômio
é irredutível sobre
.