Determine todas as relações de equivalências sobre o conjunto
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as relações de equivalência no conjunto
. Relações de equivalência são maneiras de agrupar os elementos de um conjunto que compartilham certas propriedades. Para resolver isso, vamos usar o conceito de partições do conjunto, que são divisões dos elementos em grupos não sobrepostos.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que uma relação de equivalência precisa satisfazer três propriedades:
- Reflexividade: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
- Simetria: Se um elemento está relacionado com outro, então o segundo está relacionado com o primeiro.
- Transitividade: Se um elemento está relacionado com um segundo, e o segundo com um terceiro, então o primeiro está relacionado com o terceiro.
Essas propriedades garantem que os grupos formados pela relação de equivalência sejam bem definidos.
Passo 3
Para encontrar todas as relações de equivalência em
, vamos pensar em todas as possíveis partições desse conjunto. Cada partição representa uma maneira diferente de agrupar os elementos, e cada uma corresponde a uma relação de equivalência distinta.
Passo 4
Vamos listar todas as possíveis partições de
:
-
Todos juntos:Neste caso, todos os elementos estão no mesmo grupo.
-
Dois juntos e um separado:Aqui, dois elementos estão juntos e o terceiro está sozinho. Temos 3 variações dessa forma.
-
-
Todos separados:Cada elemento está em seu próprio grupo.
Resposta
As relações de equivalência sobre o conjunto
são:
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Calcule o produto vetorial entre
e
Seja
um grupo e
. Defina uma nova operação
sobre
dada por
para todo
. Podemos afirmar que
um grupo?
Se
e
encontre
Se
e
encontre