Determine todas as relações de equivalências sobre o conjunto A=1,2,3.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as relações de equivalência no conjunto . Relações de equivalência são maneiras de agrupar os elementos de um conjunto que compartilham certas propriedades. Para resolver isso, vamos usar o conceito de partições do conjunto, que são divisões dos elementos em grupos não sobrepostos.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que uma relação de equivalência precisa satisfazer três propriedades:
  1. Reflexividade: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  2. Simetria: Se um elemento está relacionado com outro, então o segundo está relacionado com o primeiro.
  3. Transitividade: Se um elemento está relacionado com um segundo, e o segundo com um terceiro, então o primeiro está relacionado com o terceiro.
Essas propriedades garantem que os grupos formados pela relação de equivalência sejam bem definidos.

Passo 3

Para encontrar todas as relações de equivalência em , vamos pensar em todas as possíveis partições desse conjunto. Cada partição representa uma maneira diferente de agrupar os elementos, e cada uma corresponde a uma relação de equivalência distinta.

Passo 4

Vamos listar todas as possíveis partições de 1, 2, 3 :
  1. Todos juntos:
    1, 2, 3
    Neste caso, todos os elementos estão no mesmo grupo.
  2. Dois juntos e um separado:
    • 2, 1, 3
    • 3, 1, 2
    • 1, 2, 3
    Aqui, dois elementos estão juntos e o terceiro está sozinho. Temos 3 variações dessa forma.
  3. Todos separados:
    Cada elemento está em seu próprio grupo.

Resposta

As relações de equivalência sobre o conjunto 1, 2, 3 são:
  1. 1, 2, 3
  2. 2, 1, 3
  3. 3, 1, 2
  4. 1, 2, 3

Exercícios relacionados

Calcule o produto vetorial entre
6 i-16 j-15 k e 3 i+3 j-2 k
Seja (G, *) um grupo e u in G. Defina uma nova operação odot sobre G dada por a odot b=a * u * b para todo a, b in G. Podemos afirmar que (G, odot) um grupo?
Se u=(3,4,1), v=(2,3,2) e w= (4,2,3) encontre
v cdot w
Se u=(3,4,1), v=(2,3,2) e w= (4,2,3) encontre
w cdot(v times u)