Determine todas as retas tangentes ao gráfico de
que são paralelas à reta
.
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para determinar todas as retas tangentes ao gráfico de
que são paralelas à reta
.
Conteúdo envolvido:
- Derivadas (para encontrar a inclinação das tangentes)
- Equação da reta tangente
- Condição de paralelismo entre retas
O que vamos precisar:
- Calcular a derivada da função para achar a inclinação das tangentes.
- Usar a condição de que duas retas são paralelas se suas inclinações são iguais.
- Encontrar os pontos onde a inclinação da tangente é igual à inclinação da reta dada.
- Escrever a equação das retas tangentes encontradas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
, que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Sabemos que a reta
tem inclinação
. Como queremos que a reta tangente seja paralela a essa reta, a inclinação da tangente também deve ser 1.
Portanto, igualamos a derivada a 1:
Passo 4
Vamos resolver a equação
para encontrar os valores de
onde a inclinação da tangente é 1.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 3:
Passo 5
Observamos que a equação
não possui soluções reais, pois o quadrado de um número real nunca é negativo. Isso significa que não existem pontos no gráfico de
onde a inclinação da tangente seja igual a 1.
Resposta
Não existem retas tangentes ao gráfico de
que sejam paralelas à reta
.