Determine todas as retas tangentes ao gráfico de y = x^3 + 3 x que são paralelas à reta y = x + 1.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para determinar todas as retas tangentes ao gráfico de que são paralelas à reta .
Conteúdo envolvido:
  • Derivadas (para encontrar a inclinação das tangentes)
  • Equação da reta tangente
  • Condição de paralelismo entre retas
O que vamos precisar:
  • Calcular a derivada da função para achar a inclinação das tangentes.
  • Usar a condição de que duas retas são paralelas se suas inclinações são iguais.
  • Encontrar os pontos onde a inclinação da tangente é igual à inclinação da reta dada.
  • Escrever a equação das retas tangentes encontradas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Sabemos que a reta tem inclinação . Como queremos que a reta tangente seja paralela a essa reta, a inclinação da tangente também deve ser 1.
Portanto, igualamos a derivada a 1:

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar os valores de onde a inclinação da tangente é 1.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 3:

Passo 5

Observamos que a equação não possui soluções reais, pois o quadrado de um número real nunca é negativo. Isso significa que não existem pontos no gráfico de onde a inclinação da tangente seja igual a 1.

Resposta

Não existem retas tangentes ao gráfico de que sejam paralelas à reta .

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