Seja
f(x) = { -x / 2 se x < 1, 1 / raiz(x) se x ≥ 1 }
f é derivável em 1 ? f é contínua em x = 1 ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre funções contínuas e deriváveis. A questão nos apresenta uma função definida por partes e nos pergunta se ela é derivável e contínua em . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de limite, continuidade e derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para ser contínua nesse ponto, o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ) deve ser igual ao valor da função em .

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( ):
A função para é . Então,

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( ):
A função para é . Então,

Passo 5

Agora, verificamos o valor da função em :
Comparando os limites, temos:
Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em .

Passo 6

Como a função não é contínua em , ela não pode ser derivável nesse ponto. A derivabilidade exige, necessariamente, a continuidade da função no ponto considerado.

Resposta

A função não é contínua nem derivável em .

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