Seja
é derivável em 1 ?
é contínua em
?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre funções contínuas e deriváveis. A questão nos apresenta uma função definida por partes e nos pergunta se ela é derivável e contínua em
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de limite, continuidade e derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. Para ser contínua nesse ponto, o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
) e pela direita (
) deve ser igual ao valor da função em
.
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda (
):
A função para é
. Então,
A função para
Passo 4
Calculando o limite pela direita (
):
A função para é
. Então,
A função para
Passo 5
Agora, verificamos o valor da função em
:
Comparando os limites, temos:
Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em
.
Passo 6
Como a função não é contínua em
, ela não pode ser derivável nesse ponto. A derivabilidade exige, necessariamente, a continuidade da função no ponto considerado.
Resposta
A função
não é contínua nem derivável em
.