Encontre a série de Maclaurin para e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de uma série de Maclaurin) ou séries conhecidas, como a série geométrica, a série binomial ou a série de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Maclaurin para a função e descobrir qual é o raio de convergência dessa série. A série de Maclaurin é basicamente uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos polinomiais. Para isso, vamos usar algumas séries conhecidas que facilitam nossa vida, como a série de que a gente já conhece.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. Ela é uma expansão em série de uma função em torno de . Ou seja, é uma maneira de expressar a função como uma soma de potências de . A fórmula geral é:
Mas, no caso da função , temos uma série bem conhecida que facilita nosso trabalho!
Passo 3
Sabendo que , a série de Maclaurin dessa função é baseada na expansão conhecida de , que é:
Aqui, vamos fazer uma substituição para adaptar essa série ao nosso caso.
Passo 4
No nosso caso, temos , que pode ser reescrita como . Então, substituindo na série que a gente conhece, temos:
Vamos simplificar cada termo.
Passo 5
Simplificando os termos, ficamos com:
Mas note que, de forma geral, isso pode ser escrito como:
Passo 6
Então, a série de Maclaurin para é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, podemos usar o teste da razão.
O teste da razão diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Neste caso, nossos termos são . Então:
Então:
Para que a série convirja, precisamos que . Portanto, o raio de convergência é 1.