Determine todas as soluções da equação diferencial
que são funções de
grau, ou seja, da forma
, para
e
constantes.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E precisamos encontrar todas as soluções que são funções de 1º grau, ou seja, da forma
, onde
e
são constantes. Para resolver isso, vamos substituir
na equação diferencial e encontrar os valores de
e
que satisfazem a equação.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
:
Aqui, usamos a regra de derivação básica: a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de uma constante
é zero.
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 4
Observamos que os termos
se cancelam:
Isso nos dá a relação:
Passo 5
Portanto, qualquer fun��ão da forma
, onde
é uma constante, satisfaz a equação diferencial dada. Não há restrição adicional para
, então ele pode assumir qualquer valor real.
Resposta
Todas as soluções da equação diferencial que são funções de 1º grau são da forma:
onde
é uma constante real qualquer.
Exercícios relacionados
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Determine a frequência de oscilação (ainda no caso sem força externa) em termos de
e
. Essa é a chamada frequência natural.
Determine os valores de
para os quais a função
é solução da equação:
e
.
Use a diferenciaçăo implicita para obter
.