Determine todas as soluções da equação diferencial
t y'' + (t-1) y' - y = 0
que são funções de grau, ou seja, da forma y(t) = a t + b, para a e b constantes.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E precisamos encontrar todas as soluções que são funções de 1º grau, ou seja, da forma , onde e são constantes. Para resolver isso, vamos substituir na equação diferencial e encontrar os valores de e que satisfazem a equação.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de :
Aqui, usamos a regra de derivação básica: a derivada de em relação a é , e a derivada de uma constante é zero.

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando:

Passo 4

Observamos que os termos se cancelam:
Isso nos dá a relação:

Passo 5

Portanto, qualquer fun��ão da forma , onde é uma constante, satisfaz a equação diferencial dada. Não há restrição adicional para , então ele pode assumir qualquer valor real.

Resposta

Todas as soluções da equação diferencial que são funções de 1º grau são da forma:
onde é uma constante real qualquer.

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