A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é , onde , e são constantes positivas e denota a posição no instante . Determine a frequência de oscilação (ainda no caso sem força externa) em termos de e . Essa é a chamada frequência natural.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma equação que descreve um oscilador harmônico com força externa: . Nosso objetivo é descobrir a frequência de oscilação natural desse sistema quando não tem força externa agindo, ou seja, quando . Para isso, vamos precisar entender como essa equação se simplifica e como encontramos a frequência natural em termos das constantes e .

Passo 2

Primeiro, vamos tirar a força externa da equação, já que estamos considerando o caso sem força externa. Isso significa que . Substituindo isso na equação original, temos:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para ficar mais fácil de trabalhar. Dividindo ambos os lados por , ficamos com:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve um movimento harmônico simples. A solução geral para essa equação envolve uma função senoidal cuja frequência está relacionada aos coeficientes da equação. A forma padrão dessa equação é:
onde é a frequência natural que queremos encontrar.

Passo 5

Comparando as duas equações:
vemos que:

Passo 6

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A frequência natural do oscilador harmônico, sem força externa, é .

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A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é , onde , e são constantes positivas e denota a posição no instante . Mostre que uma soma do tipo pode ser reescrita como , onde e são constantes expressas em termos de e . Esboce o gráfico de , supondo por exemplo que e são positivas. Note, assim, que corresponde à frequência da oscilação.
(spoiler: Exercício importante e super legal!) Escreva uma EDO cujas soluções, independentemente das condições iniciais, se aproximam (à medida que cresce) da função .
Determine todas as soluções da equação diferencial
que são funções de grau, ou seja, da forma , para e constantes.