A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Determine a frequência de oscilação (ainda no caso sem força externa) em termos de
e
. Essa é a chamada frequência natural.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma equação que descreve um oscilador harmônico com força externa:
. Nosso objetivo é descobrir a frequência de oscilação natural desse sistema quando não tem força externa agindo, ou seja, quando
. Para isso, vamos precisar entender como essa equação se simplifica e como encontramos a frequência natural em termos das constantes
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos tirar a força externa da equação, já que estamos considerando o caso sem força externa. Isso significa que
. Substituindo isso na equação original, temos:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para ficar mais fácil de trabalhar. Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve um movimento harmônico simples. A solução geral para essa equação envolve uma função senoidal cuja frequência está relacionada aos coeficientes da equação. A forma padrão dessa equação é:
onde
é a frequência natural que queremos encontrar.
Passo 5
Comparando as duas equações:
vemos que:
Passo 6
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A frequência natural do oscilador harmônico, sem força externa, é
.
Exercícios relacionados
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Mostre que uma soma do tipo
pode ser reescrita como
, onde
e
são constantes expressas em termos de
e
. Esboce o gráfico de
, supondo por exemplo que
e
são positivas. Note, assim, que
corresponde à frequência da oscilação.
(spoiler: Exercício importante e super legal!) Escreva uma EDO cujas soluções, independentemente das condições iniciais, se aproximam (à medida que
cresce) da função
.
Determine todas as soluções da equação diferencial
que são funções de
grau, ou seja, da forma
, para
e
constantes.