Determine os valores de
para os quais a função
é solução da equação:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função
e precisamos descobrir quais valores de
fazem essa função ser uma solução da equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com derivadas e equações diferenciais, então vamos usar o cálculo para encontrar os valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A função é
. Para derivar essa função, usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vamos usar a regra da cadeia aqui.
A derivada de
é:
Então,
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, calculamos
:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, percebemos que ambos os termos têm o mesmo denominador
, então podemos combinar os termos:
Isso simplifica para:
Passo 6
Para que essa fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero (desde que o denominador não seja zero, o que é sempre verdade aqui porque
nunca é zero). Então, temos:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
(mas isso só seria válido para , e queremos que a equação seja verdadeira para todo ) -
Passo 7
Focando na segunda possibilidade:
Podemos fatorar isso:
Então, as soluções são:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equação são
e
.
Exercícios relacionados
Determine todas as soluções da equação diferencial
que são funções de
grau, ou seja, da forma
, para
e
constantes.
Use a diferenciaçăo implicita para obter
.
Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dada: