Determine os valores de para os quais a função é solução da equação: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função e precisamos descobrir quais valores de fazem essa função ser uma solução da equação diferencial . Aqui, estamos lidando com derivadas e equações diferenciais, então vamos usar o cálculo para encontrar os valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A função é . Para derivar essa função, usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vamos usar a regra da cadeia aqui.
A derivada de é:
Então,

Passo 3

Agora, substituímos e na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, calculamos :
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, percebemos que ambos os termos têm o mesmo denominador , então podemos combinar os termos:
Isso simplifica para:

Passo 6

Para que essa fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero (desde que o denominador não seja zero, o que é sempre verdade aqui porque nunca é zero). Então, temos:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. (mas isso só seria válido para , e queremos que a equação seja verdadeira para todo )

Passo 7

Focando na segunda possibilidade:
Podemos fatorar isso:
Então, as soluções são:

Resposta

Os valores de que satisfazem a equação são e .

Exercícios relacionados

Determine todas as soluções da equação diferencial
que são funções de grau, ou seja, da forma , para e constantes.
Use a diferenciaçăo implicita para obter .
Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dada: