A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Suponha agora que
e que a condição inicial corresponda a
. Sem conhecer o valor de
(que pode ser bem pequeno), e fixadas as constantes
e
, como você pode escolher a frequência
da força externa para garantir que o oscilador eventualmente irá alcançar as posições
e
? Suponha que a equação de movimento permaneça a mesma do enunciado
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre um oscilador harmônico que está submetido a uma força externa. A equação que descreve esse movimento é:
Onde:
-
é a massa, -
é a constante elástica, -
é a intensidade da força externa, -
é a frequência dessa força, -
é a posição do oscilador no tempo .
Queremos descobrir como escolher a frequência
para que o oscilador atinja posições específicas como
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação de movimento. Podemos reescrever a equação dada assim:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma força externa senoidal. Para resolver, precisamos conhecer as soluções da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 3
A solução geral da equação é a soma da solução da equação homogênea (
) e da solução particular (
) da equação completa.
A solução da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinam as condições iniciais.
Passo 4
Vamos encontrar a solução particular
. Assumindo que a solução particular tem a forma
, ao substituir na equação diferencial, encontramos:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral é a soma de
e
:
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
.
Para
:
Para
, derivamos
:
Substituindo
:
Então, a solução completa fica:
Passo 6
Queremos que o oscilador alcance posições específicas como
,
e
. Para isso, precisamos analisar o comportamento da solução quando
vai para o infinito.
Observe que quando
se aproxima da frequência natural do sistema
, o denominador
se aproxima de zero, o que faz com que a amplitude das oscilações aumente significativamente. Esse fenômeno é conhecido como ressonância.
Na ressonância (
),
O que faz com que a amplitude teórica vá para o infinito com o tempo, ou seja, o oscilador pode atingir posições muito grandes dependendo do tempo.
Passo 7
Portanto, para que o oscilador eventualmente atinja as posições
,
e
, devemos escolher a frequência
da força externa igual à frequência natural do oscilador, ou seja:
Resposta
Para garantir que o oscilador atinja posições cada vez maiores como
,
e
, devemos escolher a frequência da força externa igual à frequência natural do sistema, ou seja: