A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é m x'' = -k x + F sen(ω t), onde m, k e F são constantes positivas e x(t) denota a posição no instante t. Suponha agora que F != 0 e que a condição inicial corresponda a x(0) = x'(0) = 0. Sem conhecer o valor de F (que pode ser bem pequeno), e fixadas as constantes m e k, como você pode escolher a frequência omega da força externa para garantir que o oscilador eventualmente irá alcançar as posições x = 10, x = 100 e x = 1000? Suponha que a equação de movimento permaneça a mesma do enunciado forall x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre um oscilador harmônico que está submetido a uma força externa. A equação que descreve esse movimento é:
Onde:
  • é a massa,
  • é a constante elástica,
  • é a intensidade da força externa,
  • é a frequência dessa força,
  • é a posição do oscilador no tempo .
Queremos descobrir como escolher a frequência para que o oscilador atinja posições específicas como , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação de movimento. Podemos reescrever a equação dada assim:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma força externa senoidal. Para resolver, precisamos conhecer as soluções da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 3

A solução geral da equação é a soma da solução da equação homogênea ( ) e da solução particular ( ) da equação completa.
A solução da equação homogênea é:
Onde e são constantes que determinam as condições iniciais.

Passo 4

Vamos encontrar a solução particular . Assumindo que a solução particular tem a forma , ao substituir na equação diferencial, encontramos:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral é a soma de e :
Agora, aplicamos as condições iniciais e .
Para :
Para , derivamos :
Substituindo :
Então, a solução completa fica:

Passo 6

Queremos que o oscilador alcance posições específicas como , e . Para isso, precisamos analisar o comportamento da solução quando vai para o infinito.
Observe que quando se aproxima da frequência natural do sistema , o denominador se aproxima de zero, o que faz com que a amplitude das oscilações aumente significativamente. Esse fenômeno é conhecido como ressonância.
Na ressonância ( ),
O que faz com que a amplitude teórica vá para o infinito com o tempo, ou seja, o oscilador pode atingir posições muito grandes dependendo do tempo.

Passo 7

Portanto, para que o oscilador eventualmente atinja as posições , e , devemos escolher a frequência da força externa igual à frequência natural do oscilador, ou seja:

Resposta

Para garantir que o oscilador atinja posições cada vez maiores como , e , devemos escolher a frequência da força externa igual à frequência natural do sistema, ou seja:

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