Determine todas as soluções das equações no conjunto
.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, temos a equação
e precisamos encontrar todas as soluções no conjunto dos números complexos, ou seja, todos os valores de
que satisfazem essa equação. Vamos usar conhecimentos de álgebra sobre polinômios e resoluções de equações de grau superior, especialmente técnicas de fatoração e substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que a equação é um polinômio de quarto grau, mas ela tem uma forma que pode ser simplificada. Vamos usar uma substituição para facilitar. Vamos chamar
. Assim, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, temos uma equação quadrática em
. Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara ou fatorando diretamente. Vamos tentar fatorar:
Então, as soluções para
são:
Passo 4
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos agora voltar para
. Temos duas equações:
Vamos resolver cada uma delas separadamente.
Passo 5
Para a primeira equação
:
Sabemos que a raiz quadrada de um número negativo envolve números complexos. A solução será:
Então, as soluções são
e
.
Passo 6
Para a segunda equação
:
Da mesma forma, a raiz quadrada de -2 também envolve números complexos:
Portanto, as soluções são
e
.
Resposta
As soluções da equação
no conjunto dos números complexos são: