Determine todas as soluções das equações no conjunto C.
(e) z^4 + 3 z^2 + 2 = 0

Passo 1

Beleza, temos a equação e precisamos encontrar todas as soluções no conjunto dos números complexos, ou seja, todos os valores de que satisfazem essa equação. Vamos usar conhecimentos de álgebra sobre polinômios e resoluções de equações de grau superior, especialmente técnicas de fatoração e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a equação é um polinômio de quarto grau, mas ela tem uma forma que pode ser simplificada. Vamos usar uma substituição para facilitar. Vamos chamar . Assim, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, temos uma equação quadrática em . Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara ou fatorando diretamente. Vamos tentar fatorar:
Então, as soluções para são:

Passo 4

Lembrando que fizemos a substituição , vamos agora voltar para . Temos duas equações:
Vamos resolver cada uma delas separadamente.

Passo 5

Para a primeira equação :
Sabemos que a raiz quadrada de um número negativo envolve números complexos. A solução será:
Então, as soluções são e .

Passo 6

Para a segunda equação :
Da mesma forma, a raiz quadrada de -2 também envolve números complexos:
Portanto, as soluções são e .

Resposta

As soluções da equação no conjunto dos números complexos são:

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