Sendo
um número complexo não nulo na forma polar, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um número complexo na forma polar:
, que não é zero. A questão pede para mostrar que o inverso desse número,
, é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos na forma polar e propriedades de inversos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número complexo na forma polar. Um número complexo
pode ser escrito como
, onde:
-
é o módulo (ou valor absoluto) de , -
é o argumento (ou ângulo) de .
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. Para fazer isso, vamos usar a propriedade dos números complexos que diz que o inverso de
é dado por:
onde
é o conjugado de
e
é o módulo de
.
Passo 4
Vamos encontrar o conjugado de
:
O conjugado simplesmente troca o sinal da parte imaginária.
Passo 5
O módulo de
ao quadrado é:
Isso porque
, então
.
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula do inverso:
Passo 7
Simplificando a fração dividindo
por
:
Resposta
Portanto, mostramos que: