Sendo z = r(cos(theta) + i sen(theta)) um número complexo não nulo na forma polar, mostre que 1/z = 1/r (cos(theta) - i sen(theta)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um número complexo na forma polar: , que não é zero. A questão pede para mostrar que o inverso desse número, , é igual a . Para isso, vamos usar conceitos de números complexos na forma polar e propriedades de inversos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número complexo na forma polar. Um número complexo pode ser escrito como , onde:
  • é o módulo (ou valor absoluto) de ,
  • é o argumento (ou ângulo) de .

Passo 3

Agora, queremos encontrar . Para fazer isso, vamos usar a propriedade dos números complexos que diz que o inverso de é dado por:
onde é o conjugado de e é o módulo de .

Passo 4

Vamos encontrar o conjugado de :
O conjugado simplesmente troca o sinal da parte imaginária.

Passo 5

O módulo de ao quadrado é:
Isso porque , então .

Passo 6

Substituindo e na fórmula do inverso:

Passo 7

Simplificando a fração dividindo por :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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