Determine
tal que:
(d)
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um número complexo
tal que, quando elevado ao quadrado, seja igual a
. Para resolver isso, vamos usar a teoria dos números complexos, especificamente a forma algébrica e as propriedades da potenciação nesse conjunto.
Passo 2
Um número complexo pode ser escrito na forma
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária com
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que satisfazem a equação
.
Passo 3
Vamos calcular
usando a forma algébrica:
Aqui, usamos que
.
Passo 4
Agora, igualamos as partes reais e imaginárias de
com as do número dado
:
Essas duas equações formam um sistema que vamos resolver para encontrar
e
.
Passo 5
Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo ambos os lados por 2:
Agora, podemos expressar
em termos de
:
Substituímos isso na primeira equação:
Que simplifica para:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar a fração:
Rearranjando os termos:
Vamos chamar
, então a equação fica:
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções para
:
Como
e um quadrado não pode ser negativo, descartamos
e temos
, então:
Passo 7
Agora, encontramos
usando
:
Portanto, as soluções para
são:
Resposta
As soluções para a equação
são: