Determine z em C tal que:
(d) z^2 = 4 + 2 i raiz(5)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um número complexo tal que, quando elevado ao quadrado, seja igual a . Para resolver isso, vamos usar a teoria dos números complexos, especificamente a forma algébrica e as propriedades da potenciação nesse conjunto.

Passo 2

Um número complexo pode ser escrito na forma , onde e são números reais, e é a unidade imaginária com . Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem a equação .

Passo 3

Vamos calcular usando a forma algébrica:
Aqui, usamos que .

Passo 4

Agora, igualamos as partes reais e imaginárias de com as do número dado :
á
Essas duas equações formam um sistema que vamos resolver para encontrar e .

Passo 5

Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo ambos os lados por 2:
Agora, podemos expressar em termos de :
Substituímos isso na primeira equação:
Que simplifica para:

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar a fração:
Rearranjando os termos:
Vamos chamar , então a equação fica:
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções para :
Como e um quadrado não pode ser negativo, descartamos e temos , então:

Passo 7

Agora, encontramos usando :
Portanto, as soluções para são:

Resposta

As soluções para a equação são:

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