Determine todos os ângulos theta que satisfazem cos(theta)=-1/2 e sen(theta) = raiz(3) / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria juntos! A gente precisa encontrar todos os ângulos que satisfazem as equações e . Para isso, vamos usar conhecimentos básicos sobre funções trigonométricas e o círculo trigonométrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo representa a coordenada x do ponto correspondente, e o seno representa a coordenada y. Então, significa que a coordenada x é , e significa que a coordenada y é .

Passo 3

Agora, vamos identificar em quais quadrantes esses valores podem ocorrer. No círculo trigonométrico:
  • Quadrante I: e são positivos.
  • Quadrante II: é negativo e é positivo.
  • Quadrante III: e são negativos.
  • Quadrante IV: é positivo e é negativo.
Como é negativo e é positivo, estamos no Quadrante II.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o ângulo de referência. O ângulo de referência é o menor ângulo que o forma com o eixo x. Sabemos que e correspondem aos valores do ângulo de (ou radianos) no Quadrante I. Mas como estamos no Quadrante II, o ângulo será:

Passo 5

Como as funções trigonométricas são periódicas, ou seja, elas se repetem a cada (ou radianos), devemos adicionar múltiplos de ao nosso ângulo encontrado para obter todas as soluções possíveis. Assim, a fórmula geral para é:
é

Resposta

Todos os ângulos que satisfazem as equações são:

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