Determine todos os ângulos
que satisfazem
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria juntos! A gente precisa encontrar todos os ângulos
que satisfazem as equações
e . Para isso, vamos usar conhecimentos básicos sobre funções trigonométricas e o círculo trigonométrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo representa a coordenada x do ponto correspondente, e o seno representa a coordenada y. Então,
significa que a coordenada x é
, e significa que a coordenada y é
.
Passo 3
Agora, vamos identificar em quais quadrantes esses valores podem ocorrer. No círculo trigonométrico:
- Quadrante I:
e são positivos. - Quadrante II:
é negativo e é positivo. - Quadrante III:
e são negativos. - Quadrante IV:
é positivo e é negativo.
Como
é negativo e é positivo, estamos no Quadrante II.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o ângulo de referência. O ângulo de referência é o menor ângulo que o
forma com o eixo x. Sabemos que
e correspondem aos valores do ângulo de
(ou
radianos) no Quadrante I. Mas como estamos no Quadrante II, o ângulo
será:
Passo 5
Como as funções trigonométricas são periódicas, ou seja, elas se repetem a cada
(ou
radianos), devemos adicionar múltiplos de
ao nosso ângulo encontrado para obter todas as soluções possíveis. Assim, a fórmula geral para
é:
Resposta
Todos os ângulos
que satisfazem as equações são: