Encontre o número
que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para a função no intervalo dado:
no intervalo
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o número
que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo
. Vamos precisar entender o que é esse teorema e como aplicá-lo para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um número
em
tal que:
Isso significa que a derivada da função em algum ponto dentro do intervalo é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo.
Passo 3
Vamos verificar se a função
atende às condições do teorema:
- Continuidade: A função exponencial é contínua em todo o seu domínio, então está contínua no intervalo
. - Diferenciabilidade: A derivada de
existe para todo , então é diferenciável no intervalo .
Portanto, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio.
Passo 4
Aplicando o teorema, temos que:
Vamos calcular
e
:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
. Sabemos que:
Passo 6
Igualando
à expressão obtida pelo teorema:
Nosso objetivo agora é resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 7
Vamos isolar
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Resposta
O número
que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo
é:
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e
Encontre o número
que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para a função no intervalo dado:
no intervalo
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Determine todos os ângulos
que satisfazem
e
.