Encontre o número que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para a função no intervalo dado:
no intervalo

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o número que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função no intervalo . Vamos precisar entender o que é esse teorema e como aplicá-lo para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um número em tal que:
Isso significa que a derivada da função em algum ponto dentro do intervalo é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo.

Passo 3

Vamos verificar se a função atende às condições do teorema:
  1. Continuidade: A função exponencial é contínua em todo o seu domínio, então está contínua no intervalo .
  2. Diferenciabilidade: A derivada de existe para todo , então é diferenciável no intervalo .
Portanto, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio.

Passo 4

Aplicando o teorema, temos que:
Vamos calcular e :
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de . Sabemos que:

Passo 6

Igualando à expressão obtida pelo teorema:
Nosso objetivo agora é resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 7

Vamos isolar :
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :

Resposta

O número que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função no intervalo é:

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