Questão: (25 pontos) Para a função abaixo faça o que se pede.
a) (15 pontos) Determine qual(is) valor (es) de
a função é continua em
. Justifique sua res posta.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão sobre continuidade de funções. A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é descobrir quais valores de
fazem essa função ser contínua em
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar isso em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se as seguintes três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Como nossa função é definida por partes, precisamos verificar essas condições especificamente em
.
Passo 3
Vamos começar verificando
. Como para
, a função é
, então:
Portanto,
está definida como
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
) e pela direita (
).
Limite pela esquerda:
Para
,
. Então:
Limite pela direita:
Para
,
. Então:
Passo 5
Para a função ser contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais, e também devem ser iguais ao valor da função em
. Já vimos que:
Então, igualando os limites:
Passo 6
Resolvendo a equação
:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os valores de
que tornam a função contínua em
são
e
.
Exercícios relacionados
Determine todos os ângulos
que satisfazem
e
.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado:
Considere a reta
de equação
e o ponto
de coordenadas
. Qual a distância do ponto P até a reta
.
Questão: (25 pontos) Para a função abaixo faça o que se pede.
b) (10 pontos) Para
verifique se a funcâo é derivável em
. Justifique sua resposta.