Questão: (25 pontos) Para a função abaixo faça o que se pede.
f(x) = { a^2 * x^2 - 2 * a , se x <= 2, 5 * a * x , se x > 2 }
a) (15 pontos) Determine qual(is) valor (es) de a a função é continua em x = 2. Justifique sua res posta.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão sobre continuidade de funções. A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é descobrir quais valores de fazem essa função ser contínua em . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar isso em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se as seguintes três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Como nossa função é definida por partes, precisamos verificar essas condições especificamente em .

Passo 3

Vamos começar verificando . Como para , a função é , então:
Portanto, está definida como .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Limite pela esquerda:
Para , . Então:
Limite pela direita:
Para , . Então:

Passo 5

Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais, e também devem ser iguais ao valor da função em . Já vimos que:
Então, igualando os limites:

Passo 6

Resolvendo a equação :
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que tornam a função contínua em são e .

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