1-7 Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso envolve conhecimentos sobre séries geométricas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma geral:
onde
são os coeficientes da série. Nosso objetivo é expressar
nessa forma.
Passo 3
Observamos que a função
se assemelha à forma da série geométrica. A série geométrica é dada por:
No nosso caso, queremos manipular
para que ela se pareça com essa série.
Passo 4
Podemos reescrever
como:
Agora, aplicando a série geométrica à parte
, temos:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da série por
:
Podemos ajustar o índice da soma para simplificar:
Passo 6
Portanto, a representação em série de potências para
é:
Passo 7
Para determinar o intervalo de convergência, observamos a condição da série geométrica utilizada:
Isso significa que a série converge para todos os valores de
tais que a magnitude de
seja menor que 1.
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
O intervalo de convergência dessa série é
.
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.
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