1-7 Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso envolve conhecimentos sobre séries geométricas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma geral:
onde são os coeficientes da série. Nosso objetivo é expressar nessa forma.

Passo 3

Observamos que a função se assemelha à forma da série geométrica. A série geométrica é dada por:
No nosso caso, queremos manipular para que ela se pareça com essa série.

Passo 4

Podemos reescrever como:
Agora, aplicando a série geométrica à parte , temos:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da série por :
Podemos ajustar o índice da soma para simplificar:

Passo 6

Portanto, a representação em série de potências para é:

Passo 7

Para determinar o intervalo de convergência, observamos a condição da série geométrica utilizada:
Isso significa que a série converge para todos os valores de tais que a magnitude de seja menor que 1.

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
O intervalo de convergência dessa série é .

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