Determine todos os campos vetoriais definidos em todo R^3 com contradominio R^3 tais que sua matriz Jacobiana é da forma diag p(x), q(y), r(z), onde p, q e r são funções contínuas dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir todos os campos vetoriais definidos em todo o R^3 que têm a matriz Jacobiana na forma diag p(x), q(y), r(z), onde p, q e r são funções contínuas dadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz Jacobiana e como ela se relaciona com os campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial F: R^3 -> R^3 é dado por . A matriz Jacobiana de F é a matriz das derivadas parciais de cada componente de F em relação a cada variável:
No nosso caso, o Jacobiano é uma matriz diagonal, ou seja, os elementos fora da diagonal são zero:
Isso significa que cada componente depende apenas da variável correspondente. Por exemplo, depende só de x, só de y, e só de z.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada derivada parcial para encontrar as componentes do campo vetorial. Sabemos que:
Onde , e são constantes de integração. Como estamos trabalhando em todo R^3, essas constantes podem ser quaisquer números reais.

Passo 4

Finalmente, juntando tudo, o campo vetorial F fica:
Onde , e são constantes reais.

Resposta

Todos os campos vetoriais são da forma
onde , e são constantes reais.

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