Determine todos os campos vetoriais definidos em todo com contradominio tais que sua matriz Jacobiana é da forma diag , onde e são funções contínuas dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir todos os campos vetoriais definidos em todo o que têm a matriz Jacobiana na forma diag, onde , e são funções contínuas dadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz Jacobiana e como ela se relaciona com os campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é dado por . A matriz Jacobiana de é a matriz das derivadas parciais de cada componente de em relação a cada variável:
No nosso caso, o Jacobiano é uma matriz diagonal, ou seja, os elementos fora da diagonal são zero:
Isso significa que cada componente depende apenas da variável correspondente. Por exemplo, depende só de x, só de y, e só de z.
Passo 3
Agora, vamos integrar cada derivada parcial para encontrar as componentes do campo vetorial. Sabemos que:
Onde , e são constantes de integração. Como estamos trabalhando em todo R^3, essas constantes podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Finalmente, juntando tudo, o campo vetorial F fica: