Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Então, a gente tem uma série que precisa verificar se ela converge ou diverge usando o teste limite de comparação. A série é:
Vamos precisar entender esse teste e escolher uma série com a qual comparar para descobrir o comportamento dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Podemos ver que, à medida que
cresce, o termo
domina. Então, vamos comparar nossa série com a série geométrica
.
Passo 3
O teste limite de comparação funciona assim: comparamos o limite do quociente entre os termos das duas séries quando
tende ao infinito. Se o limite for um número finito e positivo, as duas séries vão ter o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Vamos calcular o limite:
O limite é 3, que é um número finito e positivo.
Passo 4
Sabemos que a série geométrica
converge porque a razão
é menor que 1. Como o limite do quociente é 3 (positivo e finito), pelo teste limite de comparação, a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste limite de comparação.