Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
26 sumn=1^infty 3 n+5n 2^n

Passo 1

Então, a gente tem uma série que precisa verificar se ela converge ou diverge usando o teste limite de comparação. A série é:
sumn=1^infty 3n + 5n cdot 2^n
Vamos precisar entender esse teste e escolher uma série com a qual comparar para descobrir o comportamento dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
3n + 5n cdot 2^n = 3nn cdot 2^n + 5n cdot 2^n = 32^n + 5n cdot 2^n
Podemos ver que, à medida que cresce, o termo domina. Então, vamos comparar nossa série com a série geométrica .

Passo 3

O teste limite de comparação funciona assim: comparamos o limite do quociente entre os termos das duas séries quando limn to infty 3n + 5n cdot 2^n12^n = limn to infty 3n + 5n = limn to infty 3 + 5n = 3 tende ao infinito. Se o limite for um número finito e positivo, as duas séries vão ter o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Vamos calcular o limite:
O limite é 3, que é um número finito e positivo.

Passo 4

Sabemos que a série geométrica converge porque a razão é menor que 1. Como o limite do quociente é 3 (positivo e finito), pelo teste limite de comparação, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge pelo teste limite de comparação.

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